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2021年第2期
中学数学教学参考（上旬）■0
A课例：利用单彳圆的性质
_研％正弦函数、余弦函数的性
詹长刚（浙江省杭州学军中学）
摘要：单位圆在三角函数中具有重要的意义，利用单位圆的性质来研究正弦函数、余弦函数的性质是定 义的深入理解，同时也能在研究的过程中提升学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模 等核心素养。
关键词：单位圆；正弦函数；余弦函数；数学核心素养
文章编号：1002-2171(2021)2-0019-05
2020年11月26日，在浙江省杭州学军中学第十 四届学术节暨第十二届校园文化节活动中，笔者同另 两位
来自全国名校的教师进行了“利用单位圆的性质 研究正弦函数、余弦函数的性质”同课异构教学展不 活动，现将笔者的教学设计和课堂教学实录分享给大 家，敬请指正。
1内容和内容解析
内容：利用单位圆研究正余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值。
内容解析：前面已经学过三角函数的定义，并利 用定义得出了同角三角函数的基本关系和诱导公式，本节课主要利用单位圆的性质来分析探究，能够强化 数形结合思想，发现正弦函数、余弦函数的性质，同时
求数列的前2»项和。
为偶数。
[〇n+\
本题主要考査数列通项公式的求解、分组求和 法、指数型裂项求和、错位相减求和等，属于中等题。高考以类比、拓展性知识为主线，设置能力型试题，实现数学的选拔功能。这样的试题是第三轮复习中需 要重点关注的。
例7 (2020年高考数学上海卷第21题）有限数列{〇«}，若满足I—丨< 丨— “3I<…< U—a J是项数，则称满足性质/>。
(I )判断数列3,2,5，1和4,3,2,5，1是否具有 性质/>，请说明理由。让学生体会数学知识的相互联系，激发学习兴趣。
2目标和目标解析
目标：能够学会从单位圆的角度研究正弦函数、余弦函数的性质，体会数形结合思想的应用。
目标解析：
达成目标的标志：一是能够准确地研究出正弦函 数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值；二是能 够再发现正弦函数、余弦函数的其他性质；三是能够 类比研究出函数，如/(a)=sin a+cos a的单调性、最 值等。
3 教学重点与难点
教学重点：利用单位圆的性质研究正弦函数、余
(11)若数列{^}是以〜=1，公比为9的等比数列，项数为10，具有性质/>，求<?的取值范围。
(I D)若 是 1，2,…，w 的一个排列=〜+丨（是=1，2,…，1)，，{6…}都具有性质/>，求 所有满足条件的U J。
像这样的高考试题还有很多，建议在高三复习过 程中，以试题命制的视角，展开剖析，引导学生重视解 法，形成经验，避免盲目的重复复习。
整体来说，在高三第一轮复习中，一定要注重主 干知识的梳理，重视基础知识，侧重通法的讲解，真正 做到一通百通。第二轮复习时注意梳理模块知识与 解题方法。第三轮复习，应注重提升高中数学各个知 识模块间的综合应用能力。将“平面化知识”拓展到 “立体化空间”，由“四基”“四能”走向拓展与提升。
(in)对任意的正整数》，设 (3+=2)心，》
为奇数，
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rzhongshucan点评|弦函数性质的过程。
教学难点：利用单位圆的性质研究正弦函数、余
弦函数性质的方法的迁移。
4教学问题诊断分析
学生前面已经学习过同角三角函数关系和诱导
公式，会利用单位圆的性质研究问题，但研究函数性
质时不能从“数”出发，准确和谐地将“数”与“形”进
行转换，教学时要多激发学生从“数”与“形”的角度
思考，激发学习兴趣；同时，在利用单位圆研究函数
/(<1)=4110+〇««的性质时，难度较大，不能顺利
迁移。
5教学过程
5.1创设情境，引入课题
教师：首先请同学们看一则新闻，2020年11月
8日，杭州江河汇项目正式奠基，锻造杭城世界级壮
阔地标！让我们再看看效果图（播放视频）。
教师：在效果图中，我们发现了哪些地标性的建
筑呢？
学生1：有一个超大的摩天轮。
教师：对的，就是我们非常喜欢的摩天轮，那么摩
天轮实际上是一个什么图形呢？（学生齐答圆）如果
我们将摩天轮的半径定为1个单位长度，则这个摩天
轮就是一个单位圆（学生一起回答）。前面我们刚刚
学习了三角函数，就是在单位圆中定义的，今天，让我
们继续利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的
性质(板书课题）。
设计意图：让学生直观感受圆在生活中无处不
在。三角函数是用单位圆定义的，那么在单位圆中，
利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质显
得更加自然、和谐。同时，也能激发学生学习的兴趣，
提高对数学学习的热情，培养学生从现实中抽象数学
问题的能力，为数学建模奠定基础。
5.2问题引领，层层深入
问题1：如图1，你还记得三角函数的定义吗？
y'
，尸/
y) y=sin a
/\
\
〇
}
5•丨=cos汉
j=tan a(x^〇)
V y
图1
学生2：设角a的始边与x轴非负半轴重合，终边
与单位圆的交点为P(x，j)，则定义三角函数为y=
sin a,x=cos a，2=tan aCxT^O K教师板书）。
X
教师：回答得非常好！
教师：利用单位圆来定义三角函数，可以非常清
晰地发现点的坐标或者坐标的比值与自变量^的对
应关系，并且简洁明了。下面，我们回到摩天轮，并且
将摩天轮的运动抽象为点在单位圆上运动，大家观察
并思考。
设计意图：在单位圆中利用单位圆的性质来研究
正弦函数、余弦函数的性质，核心环节是如何将圆中的
性质规律完美地与正弦函数、余弦函数联系起来，三角
函数的定义恰恰可以完美地解决这个问题。单位圆中
点变化，导致点的坐标变化，直接导致正弦函数、余弦
函数值在变化，从而发现性质，所以三角函数的定义是
基础，也是必要前提，应当贯穿整节课的始终。
问题2：你能发现正弦函数的什么特点？
学生3：点在周而复始的运动，正弦函数具有周
期性。
教师：很好。当我们在研究一个新的函数的性质
时，我们应当寻自变量和函数值之间的变化规律。
当角a变化时，终边移动，点周而复始地运动，回到同
一位置时，点重合，坐标相等，那么如何用代数形式表
示这一个结果呢？
学生 4:sin(a+2h)=sina，其中々6Z。
教师：回答得非常好，这其实就是我们已经学习
过的诱导公式1。我们发现，当自变量相差27T的整
数倍时，正弦函数值相等，这就是正弦函数的周期性。
那么周期性到底是如何定义的呢？让我们一起来看
看周期性的定义：一般地，对于函数/(：c)，如果存在
非零实数7\对于定义域内的任意一个x值，都有
/(；c+T)=/U)，我们就把/U)称为周期函数，或
/(x)具有周期性，T称为这个函数的周期。
教师：那么正弦函数的周期是多少呢？
学生5：周期是2j t。
教师追问：还有其他的周期吗？
学生 5：还有 471，67^87^，一231，_471，等等。
教师：回答得非常好。对于正弦函数，它具有无
穷多个周期，其中最小的正值称为最小正周期。在今
后的学习中，如果没有特别说明，我们说的周期都是
指最小正周期。
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教师：刚刚我们发现了正弦函数的周期性，主要 用到了什么数学思想？
学生6：用了数形结合的思想。
教师：很好，我们从数4形—数，最后得出结论，这其实也是我们数学中经常用的研究方法。
设计意图：在回顾三角函数定义的基础上，借助 摩天轮这一简单重复的运动，直观感受函数的周期 性，体会周而复始的运动特征，自然地引出函数的周 期性概念，准确地认识到正弦函数的周期。正因为正 弦函数具有周期性，所以在研究正弦函数的其他性质 时，可以只研究一个周期内的性质，从而提高效率。同时引导学生剖析这一研究过程，体会数形结合思 想，学会用同样的方法来研究正弦函数的其他的性 质，为接下来的研究做铺垫。
5.3以点带面，自主探究
问题3：如何在单位圆中研究正弦函数的奇偶 性、单调性和最值呢？
学生7：正弦函数是奇函数。
教师：很好，你是如何研究的呢？
P{x,y)学生7：如图2，设两个角分别
为〜一a，这两个角的终边关于J：
轴对称，则终边与单位圆的交点的
纵坐标相反，正弦值相反，即为
sin(—a)=—sin a。
教师：还可以从其他角度解
释吗？
学生：可以用“诱导公式3”来解释。
教师：非常好。他的研究过程中同样体现了数形 结合的思想，清晰明了。
教师：有谁研究出了正弦函数的单调性和最值？
学生8：我先选一个周期长度进行研究，
_K3兀
—H
教师追问：为什么选择这个区间长度作为一个周
期呢？
学生8：我开始选择的区间是[0,2：!]，结果发现，当£^6「〇，寻1时，随着《的增大，点的高度在升高，点的纵坐标在增大，正弦值在增大；当时,
随着a的增大，点的高度在降低，点的纵坐标在减小，正弦值在减小；当《61¥,2^时，随着a的增大，点的高度在升高，点的纵坐标在增大，正弦值在增大。这样，就出现了 2个递增区间，所以做适当调整，选择区间[ —从而将递增和递减区间都连在一
起，更加简洁。
教师追问：非常好，那你最终得到的结果是什么？
学生8：将一个周期的性质扩展到整个定义域，则得到，正弦函数在区间[一f++
Z)上单调递增，在区间[|+2/br，夸+上单调递减。进一步得出，当c r=i+2/f e7t a e Z)时，正弦函数取得最大值1，当a=¥+时，正弦
函数取得最小值一 1。
教师：回答得太棒了，刚刚几位同学给我们清晰 地展示了他们的研究过程和成果，那么大家能否同样 得出余弦函数的周期性、奇偶性、单调性和最值呢？
学生9：余弦函数的周期也是2tt，且为偶函数，在 区间[2/^，：^+2/^](4 6乙）上单调递减，在区间 [2是7t+7t，2j：+2&7T](々6Z)上单调递增；当a=2i f e7t a e z)时，余弦函数取得最大值为1，当a=7T+2A；r (走6 2)时，取得最小值为一1。
教师：完全正确。我们通过直观感知，数形结合，探究出了正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调 性和最值，充分体会了从“数”到“形”，又到“数”的变 换过程。
设计意图：让学生在了解周期性的研究过程的基 础上，再模仿类比研究正弦函数、余弦函数的其他性 质，不仅可以让他们更清晰地了解正弦函数、余弦函 数性质的由来，更能够激发他们探究的兴趣，特别是 学会从“数”到“形”再到“数”的转换，体会数形结合的 无穷魅力。在类比正弦函数的性质得出余弦函数的 性质时，又充分寻两者的区别和联系，和前面学习 的诱导公式联系起来，大大加深了对知识的理解。
5.4拓展提升，激发热情
教师：刚刚我们探究得出了正弦函数、余弦函数 的许多性质，那么我们主要利用了单位圆的什么性 质呢？
学生10：用到了单位圆的周而复始性。
学生11：用到了单位圆的对称性，如关于工轴的 对称性。
教师：那么单位圆还有其他的性质吗？
众学生：单位圆关于j轴对称，关于原点对称。
问题4：你还有什么其他的发现吗？（发现和三 角函数有关的性质，并能够利用单位圆进行论证）
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学生12：在单位圆中（圆心在坐标原点），当角的 终边关于原点中心对称时，终边与单位圆的交点关于 原点中心对称，点的纵坐标相反，横坐标也相反，所以 得出 sin(a+J t)=一sin a，cos(a+7t)=一cos a。
教师：很好，其实这就是我们已经学习过的诱导 公式2。
学生13：如图3，在单位圆中（圆心在坐标原点），当角的终边关于:V轴对称时，
终边与单位圆的交点关于^轴
对称，点的纵坐标相等，横坐标
相反，所以得出s i n(7T—a)=
s i n a，cos(7t—a)=一cos a，也就
是诱导公式4。
教师：由此，你能得出正弦函数、余弦函数的什么 特点呢？
学生14：可以得出正弦函数的图像关于直线:c=■对称$
教师：回答得很好。当两个角的终边关于y轴对 称时，这两个角所对应的点的横坐标到直线的距离相等，此时正弦函数值相等，则两个点是等高的，则这两个点关于直线对称。那么我们可以得出正弦函数的图像关于直线x=f对称。那么正弦函数是不是只有直线X=f这一条对称轴呢？
学生15：正弦函数的图像的对称轴应该是直线
教师：完美！学生16解释得非常清楚，那么我们 可否用同样的方法得出余弦函数图像的对称轴和对 称中心呢？
学生17：余弦函数的图像关于直线:r z A T t Q e Z)对称，关于点中心对称。
教师：与正弦函数的对称轴和对称中心对比，能 发现什么规律？为什么？
学生17：它们的对称轴和对称中心刚好交换了，或者说相差f个单位，因为将正弦函数的图像向左平移I■个单位，即可得到余弦函数的图像。
教师：说得非常好，感谢几位同学积极的思考，探 究发现了正弦函数、余弦函数的对称轴和对称中心，你还有其他的发现吗？
学生18：我发现了一个不等关系，当0<a<f 时，sin o^a^tan a；。
教师：很好，如何来证明你这
个发现是正确的呢？
学生18：先证明前半部分，如
图4，设角a的终边与单位圆交于
点P，单位圆与x轴正半轴交于点
A，过点P作:c轴的垂线PiW，交x
轴#M，联结P A，由单位圆的性质易得
<A，即得sin a<a。再证明后半部分：过点A作 A T丄i轴，交角a的终边于点了，由S扇形O J V V
得即为 〇：<tan 〇■，综合得 sin
工=|+&(是6乙），因为角的终边落在j轴上时，角的表本形式为•r=~|_+A j r(々6Z)。
教师：太棒了！既然如此，前面我们已经研究过，当角的终边关于x轴对称时，如一a和^，我们可以得 出正弦函数为奇函数，则其图像应该关于原点中心对 称，那么正弦函数是否只有原点这一个对称中心呢？
学生16：正弦函数对称中心应该为Q tt，0)。
教师：为什么？
学生16：当两个角的终边关于_r轴对称时，则这 两个角对应的点的横坐标到直线x=的距离相等，而此时，它们的正弦函数值相反，则点离工轴的高度 相等，但是分居X轴两侧，则在正弦函数的图像中，这两个点关于点(々k，0)中心对称，故可以得出正弦函数 的图像关于点U7t，〇)中心对称。tan a〇
教师：非常棒！在研究的过程中，我也发现了一
个不等式：当〇<a<|•时，l<sin a+cos a<~|，你能
证明这个不等式吗？
学生19：前半部分就是三角形
两边之和大于第三边，后面可以这
样证明——如图5，过点P作直线 (〇
尸〜丄3>轴，垂足为点JV，则sin a+\___y
cos+图5
教师：太好了，感谢这几位同学的精彩分享。
设计意图：首先通过类比前面的探究过程，引导 学生发现正弦函数、余弦函数图像的对称性，并通过 观察它们的对称轴和对称中心间的关系，发现正弦函 数、余弦函数图像间的内在联系，
为后面的学习做铺
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垫。同时，由一个开放性的问题，激发学生在单位圆 中继续探究和三角函数有关的性质，特别是相关不等 式，并能够利用单位圆的性质和三角函数的定义进行 证明。
5.5类比迁移，更上台阶
问题5：利用单位圆，你还可以研究其他函数的 性质吗？
教师：刚刚我们已经证明了当〇<a <f 时，1<sin  a+cos  a <"|■，那么请问，当a 6R 时，函数/(a ) =
sin  a  + cos  a 是否有最值呢？若有，最值是多少？
学生20：我觉得最大值应该是 教师：为什么？
学生20：显然只有当0<a <f 时，函数才有可能 有最大值，而当cr 增大时，sin  a 的值在增大，cos  a 的 值在减小，所以我猜测a 是在中间，即当a  = f 时取得 最大值
教师：非常好，在数学学习中，我们就是要善于发 现，勇于探索，大胆猜想，然后去验证，这才是学习的 真谛。那么这位同学刚才的猜想是否正确呢？我们 可以先通过“几何画板”演示，一起来观察。
教师：猜想加上直接观察，我们发现，函数 /(a ) = sin  a  + cos  a 的最大值为#，最小值为一#，那 么如何进行严格的证明呢？
学生21：因为Sin2a  + C 〇S 2a =l ，可以用基本不等式^^检验等号成立即可。
学生22：因为最大值肯定是在第一象限取得，最 小值肯定在第三象限取得，所以直接考虑《在第一象 限的情形，将其平方得l  + 2Sin aC〇Sa，同样由基本不 等式2a 6<a 2+62即可得到最大值为
学生23：考虑a 在第一象限 时，如图 6，sin  a  + cos  a  = 2SA R M  +2S ap 〇b  二
O P (A 〇P +‘）<O P -A B =V ^〇
(注：，d &O P 分别表不A 点、B
点到射线O P 的距离）
当且仅当O P 为第一象限角平分线时取等号，由设动点 P (C 0S  a，sin  a)，定点 — "I "，一+ )，动
点在单位圆上运动，则原式可以表示为P Q 2 — |■，由圆的最值问题，很容易得出最大值为最小值为
―办。
教师：回答得非常好，几位同学都到了非常严
格的证明方法，如利用基本不等式，利用单位圆的性 质，构造一个几何图形，等等。
教师：你还可以研究其他三角函数的性质吗？这 个问题留给同学们课后探究，比如，可以研究/(a) = sin  〇■ —cos  a ，/(a ) = sin  a  • cos  a  等函数的性质。
设计意图：通过对这两个函数的研究，让学生充 分体会我们研究不同函数的过程，先直观感知、猜想， 再寻严格的方法来进行论证。这个循序渐进的过 程能够激发学生研究的兴趣，从不同的角度领略数学 的魅力，提升学习的主观能动性。S . 6课堂小结，凝练升华教师：请同学们思考一下，我们今天学习了哪些 知识？掌握了哪些方法（图7)?
探索是数学的生命线，创新是一个民族发展的灵魂！
小C j j f e 函数的
结
最全三角函数值对照表A
弦函数、余-------\4
数的性质
他
性
直观感知^>数学抽象^数学论证
图7
学生25：我们利用单位圆的性质研究了正弦函 数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性和最值，还发 现了一些其他性质，同时研究了新函数/U ) = sin  a +C 〇S a 的性质。主要掌握了数形结合的方法。
教师：非常好，我们主要体会了数学问题的研究 过程。首先直观感知，然后抽象问题，寻求方法验证， 最后用严格的方法来证明。在这些过程中，我们用到 了数形结合、类比推理等数学思想方法。
设计意图：小结利用“结构图”的形式，用简洁的 语言让学生总结本节课的学习收获，同时教师从方法 层面和核心素养层面进行总结，有利于学生内化知 识，形成体系，养成良好的学习习惯，提升学习能力。 5.7布置作业，拓展课堂
(1)若 0<〇:</9<；号，证明:a  —sin  〇：<；芦一sin  卢。对称性可得最小值为一 W 。
学生 24: sin  a  + cos  a s i n  a -1 = (cos  a  +士）+ sin
cos 2
a  + cos  a  + sin 2 a  + a  + + ) —
(2)已知 x G  (〇，|)，试比较 cos  x ，sin(cos  :r )，
cos(sin  :r )的大小。
(3)探究：不用计算器，计算cos
15°的值。

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