用Excel求解矩阵特征值与特征向量
 
  1 引言
  求矩阵的特征值和特征向量是一个既基础又重要的数值计算问题。通常我们可以用编写高级语言程序的方法加以解决，也可以使用专门的数学软件（如MATLAB等）来实现。本文给出的用Excel实现求矩阵的特征值和特征向量的方法，既不需要设计程序，也不需要专门的数学软件，只须在Excel中进行简单操作，就可以快速、直观地得到实矩阵的特征值和特征向量，且计算结果具有较高的精度。
 
  2 在Excel中利用数组公式和数组常量建立并命名矩阵
  在Excel中，可以在一个单元格区域内通过逐个输入矩阵的各个元素来建立矩阵，还可以使用数组公式和数组常量更加方便地建立矩阵[1]。例如，可以通过下列操作建立矩阵：
  (1)在Excel的工作表Sheet1中，选择单元格区域A1:D4；
  (2)输入公式：={2,-1,0,0;-1,2,-1,0;0,-1,2,-1;0,0,-1,2}(顺便指出：在Excel的数组公式中，将矩阵元素用大括号{}括起来称为数组常量，其中不同列的元素用逗号隔开，不同行的元素用分号隔开。参见文献[1])；
  (3)按Ctrl+Shift+Enter键，结束数组公式的输入，形成图1所示的矩阵。
  建立了矩阵之后，在Excel的数组公式中，就可以用矩阵所在的单元格区域A1:D4表示该矩阵；但若将该矩阵命名为A显然更便于使用，也便于理解公式的含义，方法如下：
  选择该矩阵所在的单元格区域A1:D4；单击编辑栏左端的“名称”框，输入A，按回车键确认，如图2所示。此后，在当前工作薄的所有工作表中，就可以使用名称A在数组公式中代表该矩阵。尤其需要指出的是：通过对矩阵命名，不仅能方便地实现跨工作表引用单元格区域，而且更重要的是：在复制公式时，Excel将名称（如A）按常量对待，所以更便于矩阵的运算和使用。类似地，我们还可以在单元格区域F1:I4中通过输入数组公式：{={1,0,0,0; 0,1,0,0; 0,0,1,0; 0,0,0,1}}建立4阶单位矩阵，并命名为I。
 
  3 利用Excel求矩阵的特征值
  由于矩阵A的特征值λ就是特征方程det(A-λI)的根，因此可以利用Excel工具菜单中的“单变量求解”命令求矩阵的特征值。
  例如，上述矩阵A在0.4附近的特征值的求解方法如下：
  (1)在A6单元格中输入值0.4；
  (2)在B6单元格中输入公式：=MDETERM(A-A6*I)＝0，其中MDETERM为Excel提供的求矩阵行列式的函数；
  (3)按Ctrl+Shift+Enter键，形成数组公式：{=MDETERM(A-A6*I)}，于是B6单元格中的值0.1264即为特征多项式在 的值；
  (4)单击“工具”菜单中的“单变量求解”命令，打开“单变量求解”对话框；
  (5)在“目标单元格（E）”中输入或选择B6，在“目标值（V）”中输入0，在“可变单元格（C）”中输入或选择A6；
  (6)单击“确定”按钮。
  此时，A6单元格中的值0.381966011就是矩阵A在0.4附近特征值的近似值（顺便指出：在Excel“选项”对话框的“重新计算”选项卡中，通过设置“迭代计算”栏还可控制计算精度）。
 
  4 求特征值对应的特征向量 excel函数数组公式编辑方法
  在此我们介绍如何利用数值计算中的逆幂法[2]，求特征值所对应的特征向量。所谓逆幂法，就是取A的特征值λi的一个近似值λ，并取非零初始向量X0，按迭代公式：
  （其中符号‖·‖∞代表向量的按模最大分量，即）
  进行迭代，当相邻两次迭代，Xk-1，Xk近似成比例时，则Xk即为矩阵A对应于特征值λi的近似特征向量。
  例如，为求上例矩阵A的特征值λ=0.381966011对应的特征向量，我们取近似特征值为0.38，并取初始向量为（1,1,1,1），使用逆幂法进行迭代可以在Excel中进行如下操作：
  (1)在工作表Sheet2中，先在单元格区域A1:A4中输入1,1,1,1形成初始向量X0；
  (2)选择单元格区域B1:B4，输入公式：=MMULT(MINVERSE(A-0.38*I), A1:A4)，按Ctrl+Shift+Enter键，形成数组公式计算出Y1 (注：其中MINVERSE, MMULT分别为Excel提供的计算逆矩阵和计算两个矩阵乘积的函数)；
  (3)在B5单元格中输入公式：=MAX(ABS(B1:B4))，按Ctrl+Shift+Enter键，形成数组公式计算出‖Y1‖∞；
  (4)选择单元格区域C1:C4，输入公式：=B1:B4/B5，按Ctrl+Shift+Enter键，形成数组公式计算出逆幂法迭代一次后的向量X1=(0.618321,1,1,0.618321)；
  (5)选择B1:C5单元格区域，向右拖动C5右下角的填充柄，即得逆幂法的迭代序列，如下图：
  从上图可以看出：用逆幂法迭代3次，可得A的对应于近似特征值λ=0.381966011的近似特征向量为(0.618033989,1,1,0.618033989)。若与A的相应精确特征值λ=2-2cos(π/5)=0.3819660112…和特征向量(sin(π/5)/sin(2π/5),1,1,sin(π/5)/sin(2π/5))=(0.6180339887…,1,1,0.6180339887…)相比较，显然已具有较高的精度。
5 结束语
  开发Excel的强大计算功能用于求解数值计算问题[3,4]，既不需要设计程序，也不需要专门的数学软件，而且计算精度控制方便，操作简单，同时注意到Excel软件在各类计算机上随处可见，这不仅为课堂教学，而且也为解决工程计算问题提供了极大的便利。
  参考文献：
  [1]卢秋根. 中文版Office应用基础教程[M]. 上海:上海科学普及出版社,2005年9月第1版,151-152.
  [2]李庆杨, 王能超, 易大义. 数值分析[M]. 北京:清华大学出版社,2001年8月第4版,308-312.
  [3]彭海静. 基于Excel求高次方程的解[J]. 计算机应用与软件,2006,23(2):142-144.
  [4]杨明波, 卢建立. 在Excel中实现用牛顿法求解非线性方程组[J]. 电脑学习,2006,4,62-63.
  本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
 

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