西安电⼦科技⼤学数字信号处理⼤作业
数字信号处理⼤作业
班级：021231 学号：
姓名：指导⽼师：吕
雁
写出奈奎斯特⽶样率和和信号稀疏⽶样
的学习报告和体会
1、采样定理
___ T在进⾏A/D信号的转换过程中，当采样频率fs.max⼤于信号中最⾼频率fmax的2倍时(fs.max>2fmax)，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，⼀般实际应⽤中保证采样频率为信号最⾼频率的5?10倍；采样定
理⼜称奈奎斯特定理。
(1) 在时域
频带为F的连续信号f(t)可⽤⼀系列离散的采样值f(t1),f(t1 ±A t), f(t1 ±2A t),...来表⽰，只要这些采样点的时间间隔A t < 1/2F，便可根据各采样值完全恢复原始信号。
(2) 在频域
当时间信号函数f(t)的最⾼频率分量为fmax时,f(t)的值可由⼀系列采样间隔⼩于或等于1/2fo的采样值来确定，即采样点的重复频率fs >2fmax。
2、奈奎斯特采样频率
(1)概述
奈奎斯特采样定理：要使连续信号采样后能够不失真还原，采样频率必须⼤于信号最咼频率的两倍(即奈奎斯特频率)。
奈奎斯特频率(Nyquist frequency )是离散信号系统采样频率的⼀半，因哈⾥?奈奎斯特(Harry Nyquist )或奈奎斯特—⾹农采样定理得名。采样定理指出，只要离散系统的奈奎斯特频率⾼于被采样信号的最⾼频率或带宽，就可以真实的还原被测信号。反之，会因为频谱混叠⽽不能真实还原被测信号。
采样定理指出，只要离散系统的奈奎斯特频率⾼于采样信号的最⾼频率或带宽，就可以避免混叠现象。从理论上说，即使奈奎斯特频率恰好⼤于信号带宽，也⾜以通过信号的采样重建原信号。但是，重建信号的过程需要以⼀个低通滤波器或者带通滤波器将在奈奎斯特频率之上的⾼频分量全部滤除，同时还要保证原信号中频率在奈奎斯特频率以下的分量不发⽣畸变，⽽这是不可能实现的。在实际应⽤中，为了保证抗混叠滤波器的性能，接近奈奎斯特频率的分量在采样和信号重建的过程中可能会发⽣畸变。因此信号带宽通常会略⼩于奈奎斯特频率，具体的情况要看所使⽤的滤波器的性能。需要注意的是，奈奎斯特频率必须严格⼤于信号包含的最⾼频率。如果信号中包含的最⾼频率恰好为
奈奎斯特频率，那么在这个频率分量上的⽶样会因为相位模糊⽽有⽆穷多种该频率的正弦波对应于离散采样，因此不⾜以重建为原来的连续时间信号。
(2) 奈奎斯特频率的应⽤
除了奈奎斯特频率之外，还有⼀个指标⾮常重要，这个指标就是测量装置的带宽。严格讲，带宽包含上限和下限两个数值，但是，由于许多宽频带的测量设备，⽐如说变频功率分析仪，其带宽的频率上限远远⼤于频率下限，或者频率下限为零，因此，⼀般以频率上限作为该仪器的带宽。⼀般⽽⾔，带宽指3db带宽。-3db带宽并不表明⾼于带宽上限频率的信号不能通过测量仪器。举例⽽⾔，某功率分析仪的带宽上限为100kHz，那么，100kHz的正弦波通过测量仪器的AD转换器之前的电路时，幅值衰减为原信号幅值的
70.7%，功率衰减为
原信号的50%
此外，对于⾮正弦波形，其含有的谐波频率⾼于信号频率(基波频率)。因此，不能简单的认为，100kHz带宽的仪器可以⽤于测量100kHz的正弦波, 更不能认为100kHz带宽的仪器可以⽤于测量100kHz的⽅波或畸变波形。
要让采样过程符合奈奎斯特采样定理，测量仪器的带宽应该⼩于奈奎斯特频率。若测量仪器的电路固有带宽⾼于奈奎斯特频率，应该在AD转换器之间加
上截⾄频率⼩于奈奎斯特频率的防混叠滤波器。对于后者，防混叠滤波器的截⾄频率就是仪器的带宽。
3、稀疏采样
⽬前，Can des, Romberg Tao和Do noho等⼈提出了⼀种全新的理论⼀压缩感知理论(Compressed Sensing)。该理论是⼀种崭新的信号采样、信号编码和信号解码理论。采样速率不再像Nyquist速率⼀样，与信号的带宽密切相关,
⽽是与信息在信号中的结构和位置息息相关。编码过程是围绕观测器即观测矩阵展开的，⽽解码过程是
⼀个优化计算过程。该理论已经被证明能够⽤较低采样速率准确的进⾏信号采样，并且能够以很⾼的概率重构原始信号。⽬前国内已经有科研单位的学者对其展开研究。如我们学校课题组基于该理论提出采⽤超低速率采样检测超宽带回波信号。
。
其CS理论如图：
稀疏采样，也被称为压缩感知、压缩传感或压缩采样，是⼀种利⽤稀疏的或可压缩的
信号进⾏信号重构的技术。或者可以说是信号在采样的同时被压缩，从⽽在很⼤程度上降低了采样率。稀疏采样跳过了采集N个样本这⼀步骤，直接获得压缩的信号的表⽰。其理论利⽤到了许多⾃然信号在特定的基上具有紧凑的表⽰。即这些信号是“稀疏”的或“可压缩”的。由于这⼀特性，稀疏采样理论的信号编解码框架和传统的压缩过程⼤不⼀样，主要包括信号的稀疏表⽰、编码测量和重构算法等三个⽅⾯。简单地说，压缩感知理论指出：只要信号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的，那么就可以⽤⼀个与变
换基不相关的观测矩阵将变换所得⾼维信号投影到⼀个低维空间上，然后通过求解⼀个优化问题就可以从这些少量的投影中以⾼概率重构出原信号，可以证明这样的投影包含了重构信号的⾜够信息。在该理论框架下，采样速率不再取决于信号的带宽，⽽在很⼤程度上取决于两个基本准则：稀疏性和⾮相⼲性，或者稀疏性和等距约束性。
显然，在压缩感知理论中，图像/信号的采样和压缩同时以低速率进⾏，使传感器的采样和计算成本⼤⼤降低，⽽信号的恢复过程是⼀个优化计算的过程?因此，该理论指出了将模拟信号直接采样压缩为数字形式的有效途径。从理论上讲任何信号都具有可压缩性，只要能到其相应的稀疏表⽰空间，就可以有效地进⾏压缩采样。
当前，压缩感知理论主要涉及三个核⼼问题：
(1) 具有稀疏表⽰能⼒的过完备字典设计；
(2) 满⾜⾮相⼲性或等距约束性准则的测量矩阵设计；
(3) 快速鲁棒的信号重建算法设计。
压缩感知理论必将给信号采样⽅法带来⼀次新的⾰命。这⼀理论的引⼈之处还在于它对应⽤科学的许多领域具有重要的影响，如统计学、信息论、编码等。⽬前，学者们已经在模拟-信息采样、合成孔径雷达
成像、遥感成像、核磁共振成像、深空探测成像、⽆线传感器⽹络、信源编码、⼈脸识别、语⾳识别、探地雷达成像等诸多领域对压缩感知展开了⼴泛的应⽤研究。Rice⼤学已经成
功设计出了⼀种基于压缩感知的新型单像素相机，在实践中为取代传统相机迈出了实质性的⼀步。
(1) 压缩感知理论框架
传统的信号采集、编解码过程如图所⽰：编码端先对信号进⾏采样，再对所有采样值进⾏变换，并将其中重要系数的幅度和位置进⾏编码，最后将编码值进⾏存储或传输：信号的解码过程仅仅是编码的逆过程，接收的信号经解压缩、反变换后得到恢复信号。采⽤这种传统的编解码⽅法，由于信号的采样速率不得低于信号带宽的2倍，使得硬件系统⾯临着很⼤的采样速率的压⼒。此外在压缩编码过程中，⼤量变换计算得到的⼩系数被丢弃，造成了数据计算和内存资源的浪费。
压缩感知理论对信号的采样、压缩编码发⽣在同⼀个步骤，利⽤信号的稀疏性，以远低于Nyquist 采样率的速率对信号进⾏⾮⾃适应的测量编码。测量值并⾮信号本⾝，⽽是从⾼维到低维的投影值，从数学⾓度看，每个测量值是传统理论下的每个样本信号的组合函数，即⼀个测量值已经包含了所有样本信号的少量信息。解码过程不是编码的简单逆过程，⽽是在盲源分离中的求逆思想下。利⽤信号稀疏分解中已有的重构⽅法在概率意义上实现信号的精确重构或者⼀定误差下的近似重构。解码所需测量值的数⽬远⼩于传统理论下的样本数。
压缩感知理论的编解码框图
(2) 压缩感知的基本理论及核⼼问题
假设有⼀信号
f(f R N )，长度为N ，基向量为i (i 12，…,N)，对信号进⾏变换：
N f a i i 或 f
i 1
显然f 是信号在时域的表⽰，
是信号在域的表⽰。信号是否具有稀疏性或者近似稀疏性是运⽤压缩感知理论的关键问题，若式中的只有K 个是⾮零值(N K)者仅经排序后按指数级衰减并趋近于零，可认为信号是稀疏的。
信号的可稀疏表⽰是压缩感知的先验条件。在已知信号是可压缩的前提下，压缩感知过程可分为两步：
设计⼀个与变换基不相关的M N(M
N)维测量矩阵对信号进⾏观测,
得到M 维的测量向量。
由M维的测量向量重构信号
(3) 信号的稀疏表⽰
稀疏的数学定义：信号X在正交基下的变换系数向量为T x，假如
对于° P 2和R 0，这些系数满⾜：
II li p ( I i l P)1/P R
i
则说明系数向量在某种意义下是稀疏的。给出另⼀种定义：如果变
换系数
i X，i的⽀撑域｛i; i °｝的势⼩于等于K ，则可以说信号X是K项稀疏。如何到信号最佳的稀疏域？这是压缩感知理论应⽤的基础和前提，只有选择合适的基表⽰信号才能保证信号的稀疏度，从⽽保证信号的恢复精度。在研究信号的稀疏表⽰时，可以通过变换系数衰减速度来衡量变换基的稀疏表⽰能⼒。Can
des和Tao研究表明，满⾜具有幕次(power-law)速度衰减的信号，可利⽤压缩感知理论得到恢复。
最近⼏年，对稀疏表⽰研究的另⼀个热点是信号在冗余字典下的稀疏分解?这是⼀种全新的信号表⽰理论：⽤超完备的冗余函数库取代基函数，称之为冗余字典，字典中的元素被称为原⼦?字典的选择应尽可能好地符合被逼近信号的结构，其构成可以没有任何限制?从从冗余字典中到具有最佳线性组合的K 项原⼦来表⽰⼀个信号，称作信号的稀疏逼近或⾼度⾮线性逼近。
⽬前信号在冗余字典下的稀疏表⽰的研究集中在两个⽅⾯：
(1) 如何构造⼀个适合某⼀类信号的冗余字典；
(2) 如何设计快速有效的稀疏分解算法。
这两个问题也⼀直是该领域研究的热点，学者们对此已做了⼀些探索，其中以⾮相⼲字典为基础的⼀系列理论证明得到了进⼀步改进?西安电⼦科技⼤学的⽯光明教授也对稀疏表⽰问题进⾏了认真研究，并基于多组正交基级联⽽成的冗余字典提出⼀种新的稀疏分解⽅法。
关于布莱克曼窗函数的研究
1. 布莱克曼窗
布莱克曼窗的时域形式可表⽰为：
w( n) [0.42 0.5(cos ) 0.08cos( )]R N 1 N 1 N(n) (2-3)
它的频域特性为：
其中W R ()为矩形窗函数的幅度频率特性。
frequency函数计算频数增加⼀个⼆次谐波余弦分量，可进⼀步降低旁瓣，但主瓣宽度进⼀步增加, 12
为 N 。加N 可减少过渡带。布莱克曼窗函数的最⼤旁瓣之⽐主瓣值低但是主瓣宽度是矩形窗函数的主瓣宽度的三倍。布莱克曼窗主瓣宽，旁瓣⼩，频率识别精度最低，但幅值识别精度最咼。W ) 0.42W R ( ) 0.25[W R ( N 1) N 1]
0.04[W R
N 1) W R ( N 1)] (2-4)
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