过零检测和曲线拟合的电力系统频率算法
赵庆生;谢运华;郭贺宏;张学军
【摘 要】In this paper,a new discrete Fourier transform(DFT)frequency algorithm is proposed based on band pass fil-tering,zero crossing detection and least square nonlinear curve fitting. First,the original signal is filtered by a band pass filter,and zero crossing detection is used to calculate the frequency value of filtered signal,which is adopted as the reference frequency of least square nonlinear curve fitting. Second,the fitted sine curve is resampled,and DFT al-gorithm is used to calculate the frequency of resampled data. The simulation results show that the proposed algorithm can restrain or eliminate the effect of noise and frequency fluctuation on the frequency synchronization measurement , which improves the accuracy of frequency measurement.%提出了一种基于带通滤波、过零检测和最小二乘非线性曲线拟合的新型离散傅里叶变换DFT(discrete Fourier transform)频率算法.首先将原始信号经过带通滤波器滤波后,用过零检测算法计算其频率并将此值作为最小二乘非线性曲线拟合参考频率;之后对拟合后的正弦曲线进行重采样得到重采样数据;再对重采样数据运用DFT算法计算频率.仿真实
验结果表明,所提算法能抑制或消除噪声以及频率波动对频率同步测量的影响,提高了频率测量精度.
【期刊名称】《电力系统及其自动化学报》
【年(卷),期】2017(029)002
【总页数】6页(P21-26)
【关键词】过零检测;最小二乘非线性曲线拟合;离散傅里叶变换;频率测量;带通滤波
【作 者】赵庆生;谢运华;郭贺宏;张学军
【作者单位】太原理工大学电力系统运行与控制山西省重点实验室,太原 030024;太原理工大学电力系统运行与控制山西省重点实验室,太原 030024;国网临汾供电公司,临汾 041000;山西大学电力工程系,太原 030006
【正文语种】frequency函数计算频数中 文
【中图分类】TM711
频率作为同步相量测量的重要组成部分对电力系统的安全、稳定和高效的运行具有非常重要的作用。可靠的频率测量是电力系统有效地进行功率控制、负荷减载、负荷恢复以及发电机保护的先决条件。因此，对电压信号频率进行高精度、快速的测量显得尤为重要。目前，常用的频率测量算法主要有傅里叶变换[1-2]、小波变换法[3]、瞬时值计算法[4]和最小均方算法[5]等。
由于离散傅里叶变换DFT（discrete Fourier transform）的计算量比较小以及对谐波和噪声具有一定的抑制能力，因此基于DFT测量算法在当前频率和谐波的实际计算中得到了广泛应用[6-8]。但是其算法计算容易受数据窗口的影响，且当信号基波频率偏移工频时，基于DFT的频率计算方法由于非同步采样容易表现出较大的误差，限制了其使用。为了提高基于DFT频率测量算法的测量精度，文献[9]提出了一种插值迭代修正DFT频率算法，但是该算法在计算时认为频率为固定不变，并未考虑频率动态变化的情形；文献[10]提出了一种利用相角差来进行频率计算的方法，该方法简便且具有一定的精度，但未考虑由于谐波、噪声等的干扰而造成的相角差本身所存在的误差；文献[11]提出了一种采用等比定理的改进DFT系统频率测量算法，该算法具有一定的谐波抑制能力；文献[12]提出了一种基于等角度采样原则的自适应调整采样频率的算法，保持每周期采样点不变，根据上一窗口计算出的频率值调整下一个
数据点的采样间隔，此方法相对于传统的DFT算法在精度上有一定的提升。
本文在带通滤波、过零检测算法和最小二乘非线性曲线拟合的基础上，将原始信号先经过带通滤波器进行滤波，滤除信号中的谐波分量和部分噪声；再将滤波后的信号应用过零检测算法在预设的数据区间长度内计算其频率值，并将此频率作为最小二乘非线性曲线拟合的迭代初始频率，在每一小段采样区间中对滤波信号进行正弦曲线拟合；然后调整采样频率对拟合曲线进行二次重采样，将所得到的重采样数据再进行DFT算法计算频率，以提高频率测量精度。
1.1 滤波器的设计
通常实际的电力系统信号并不是标准的正弦信号，而是包含有各次谐波分量、间谐波分量、直流分量和大量噪声的复杂信号；正常情况下基波频率在工频50 Hz附近具有微小波动变化，则谐波分量的频率也将随着变化，这将给频率测量带来较大的误差，因此有必要设计带通滤波器滤除信号中所含谐波分量及其他的干扰分量。
本文采用基于巴特沃斯型带通滤波器的设计，目的在于滤除谐波和噪声的干扰对信号的影响。
文中主要设计参数：通带范围为45～55 Hz、通带上限为60 Hz、通带下限为40 Hz、通带最大衰减为2 dB、阻带最小衰减为15 dB。在Matlab仿真中可得滤波器的频率响应特性如图1所示。
由图1可见，经过带通滤波器滤波后，信号中只有频率处于50 Hz附近很小范围内的分量可以通过，在其他频率区间衰减很大，直流分量和各次谐波分量的衰减几乎为0，由此可以滤除直流分量和高次谐波分量对基波信号的干扰。但由于信号中噪声随机，很难通过带通滤波器完全滤除，滤波后信号中依然含有部分噪声，足以造成频率泄露，因此有必要对信号进一步进行去噪声处理。
1.2 电压过零点检测
原始信号经过带通滤波器滤波后，得到一系列离散数据序列(t0,v0),(t1,v1),…,(tN-1,vN-1),…，对离散数据序列相邻2个数据点进行过零点判断，以求得过零点的时间。其原理[13]如下。
判断2个相邻数据(tk-1,vk-1)和(tk,vk)的电压符号是否相同，假如电压符号相同，则认为两点
之间不存在电压过零点；假如电压符号不相同，则认为(tk-1,vk-1)和(tk,vk)两点之间存在电压过零点，可将两点之间的曲线近似为直线，求两点之间的直线方程，通过线性化计算电压过零点的时刻，其计算公式为
式中，vk、tk和vk-1、tk-1分别为数据的第k个采样值、采样时间和第k-1个采样值、采样时间。
根据第1个电压过零点时间t1、最后一个电压过零点时间tn以及过零点的个数n，计算过零点频率f0。将f0作为最小二乘非线性曲线拟合的参考频率，计算公式为
1.3 最小二乘非线性曲线拟合原理
由于原始信号经过带通滤波后，所残留的噪声足以造成频率泄露，这在一定程度上影响了各种传统的基于DFT的频率测量算法的精度和稳定性。当信号为标准的正弦波或含有少量的噪声和有限次数的谐波时，DFT算法能取得较好的效果，表现出了一定的谐波和噪声抑制能力；但是当信号中含有大量噪声或者频率发生波动而偏移工频时，DFT算法所表现出来的频率测量效果不太明显，精度明显降低，甚至难以收敛。
本文运用基于Levenberg-Marquardt的最小二乘非线性曲线拟合[14]方法对原始信号进行正弦曲线拟合。最小二乘非线性曲线拟合基本思想为：在原始信号的每一个小区间Vi中对原始信号进行标准正弦曲线拟合成Yi，使Vi和Yi之间的误差尽可能地小，表示为
式中，Yi为第i段的不含谐波和噪声的标准正弦拟合函数。
本文中采用Levenberg-Marquardt方法来获得拟合正弦曲线的幅值、相角和频率参数最优值，参数λ初始化为0.01。为了保证算法能尽快收敛，迭代初始频率设置为过零检测算法所得频率，而将相角θ取0～π中的任意值。如果得到的最优化参数不是合理值，调整θ，重新对参数进行优化估计，直到得到的参数为最优化值。然后对拟合的正弦曲线进行重采样，对信号进一步去噪，从而提高算法的频率测量精度。
1.4 频率计算
1.4.1 基波分量频率计算原理
假设输入电压信号模型为
式中：V为电压峰值；f为基波真实频率；t为时间；θ为初相角。
则信号真实频率f与工频f1和频率偏移量Δf存在的关系为
当f=f1时，对式（4）在一个周期内的时间窗口[0,T0]进行傅里叶变换，可得
式中，UR0和UI0分别为当前时间窗口DFT变换的实部和虚部。
令
联立式（6）和式（7），可得
设每周期采样点数为N，则时间窗口前移一个采样点的时间得到下一个时间窗口[T0/N,T0+T0/N]。同样，采用傅里叶变换可得
式中，UR1和UI1分别为下一时间窗口DFT变换的实部和虚部。
综上可得
故有
式（13）表明了信号基波真实频率f与工频f1和傅里叶变换之间的关系。
为了避免式（13）中出现分母为0的情况，根据文献[15]利用等比定理对式（13）进行如下改进。
当时，则有
依据等比定理将n次计算的f按照式（14）进行绝对值补偿，可得
式中，n可根据实际情况进行选择，本文n选择为5。尽管对于单个可能出现无限接近于0的现象，但对于则不可能为0，这样有效地解决了分母的过零问题。由于上述公式的推导基于标准正弦信号，故在进行计算前需对原始电力信号进行带通滤波器滤波。
1.4.2 算法的实现过程
（1）以采样频率1 000 Hz对原始信号进行采样，经过带通滤波器滤波之后，得到数据序列(t0,v0),(t1,v1),…,(tN-1,vN-1),…，由式（1）得到过零点信息，由式（2）得到信号当前频率f0，在此基础之上，采用最小二乘非线性曲线拟合对滤波后的离散数据拟合成正弦曲线，每5个周期拟合1次；为了减少计算量，拟合窗口的时间移动步长为1个信号周期。
（2）得到拟合正弦曲线后，根据过零检测所得的频率信息以等角度采样[12]原则（即每个周期的采样点个数不变调整采样频率），对拟合后的曲线进行采样，得到采样值进行保存。
（3）以1个周期的时间长度为DFT变换时间窗口，在得到相邻2个窗口傅里叶变换值的基础上，依据式（15）计算频率；然后回到步骤（1）重复此过程，直到得到信号的所有频率。
为验证算法的正确性，对文献[12]的改进DFT算法与本文所提出的改进DFT算法进行比较分析。本文算法计算的信号是经过了本文设计的带通滤波器滤波处理后的信号。

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