第３６卷第４期２０２２年７月
兰州文理学院学报(自然科学版)
J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y o
fA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３６N o ．４
J u l ．２０２２
收稿日期:２０２２Ｇ０５Ｇ１６作者简介：张军(１９８４Ｇ)，男，甘肃金昌人，工程师，硕士，研究方向：计算机信息处理㊁信号处理研究．E Ｇm a i l :z h a n g j
u n ＠l z p
c c ．e
d u ．c n ．㊀㊀文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０２２)０４Ｇ００７５Ｇ０５
VM D 在信号分解中的K 值确定方法
张㊀军
(兰州石化职业技术大学质量管理处，甘肃兰州７３００５０
)摘要：针对变分模态分解(VM D )层数K 影响分解结果准确度以及噪声信号严重影响有用信息提取的问题，提出了利用中心频率法㊁皮尔逊相关系数和瞬时频率均值确定K 值．分别应用３种方法综合分析，选择最佳分解层数K ，然后利用VM D 对含噪声的信号进行自适应分解，以故障振动信号为例进行验证分析，结果表明所提方法均能够有效确定VM D 中的K 值．
关键词：瞬时频率均值法；变分模态分解；中心频率；皮尔逊相关系数中图分类号:T P ３９１．４㊀㊀㊀文献标志码:A
T h e K V a l u eD e t e r m i n a t i o n M e t h o do fV M Di nS i g n a lD e c o m p
o s i t i o n Z HA N GJ u n
(D e p a r t m e n t o fQ u a l i t y M a n a g e m e n t ,L a n z h o uP e t r o c h e m i c a lU n i v e r s i t y
o fV o c a t i o n a lT e c h n o l o g y
,L a n z h o u７３００５０,C h i n a )A b s t r a c t :A i m i n g a t t h e p r o b l e mt h a t t h en u m b e ro fd e c o m p o s i t i o nl a y
e r s K i n V a r i a t i o n a l M o d eD e c o m p o s i t i o n (VM D )h a s a g r e a t i n
f l u e n c e o n t h e a c c u r a c y o f t h e d e c o m p
o s i t i o n r e s u l t a n d t h en o i s e c o n t a i n e d i n t h e s i g n a l g r e a t l y a
f f e c t s t h e e x t r a c t i o no f u s e f u l i n f o r m a t i o n ,t h i s p a p e r p r o p o s e s t h eu s e o f t h e c e n t e r f r e q u e n c y m
e t h o d ,t h e c o r r e l a t i o n c o e
f f i c i e n tm e t h o d a n d t h e i n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c y m e a n (I F M )t od e t e r m i n e t h e K v a l u e ．F i r s t l y
,t h e K v a l u e i n t h e b e s tVM D i s s e l e c t e db y m e a n i n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c y ,a n d t h e n t h e n o i s e Ｇc o n t a i n i n g s i g Ｇn a l i s a d a p t i v e l y d e c o m p o s e db y t h eVM D m e t h o d ,a n d t h e f a u l t v i b r a t i o n s i g
n a l i s u s e d a s a n e x a m p l e f o r v e r i f i c a t i o n a n d a n a l y s i s ,a n d t h e r e s u l t s s h o wt h a t t h em e t h o d c a n e f f e c t i v e l y d
e Ｇt e r m i n e t h e K v a l u e i n t h eVM D．
K e y w o r d s :m e a n v a l u e m e t h o d o fi n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c y ;v a r i a b l e m o d e d e c o m p o s i t i o n (VM D );c e n t e r f r e q u e n c y
;P e a r s o n c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t 0㊀引言
VM D (V a r i a t i o n a l M o d e D e c o m p o s i t i o n ,VM D )
是一种自适应㊁完全非递归的模态变分和信号处理方法，近年来被广泛应用于信号处理㊁故
障诊断与预测㊁负荷预测等领域．该方法由D r a g Ｇo m i r e t s k i y 等[１
]在２
０１４年提出，可将信号分解为具有不同频率的模态分量．VM D 方法有效解决
了E M D (E m p i r i c a lM o d eD e c o m p
e s o t i o n ,E M D )模态混叠和端点效应问题[２]
，对噪声具有更强的鲁棒性．徐文宫[３]
建立了滚动轴承缺陷的故障信
号计算模型，对VM D 和E M D 故障特征提取性能进行比较，结果表明，与E M D 相比,VM D 能更准确地提取主要模态．文献[４]中也进行了类似的比较，得出了相同的结论．然而,VM D 中有许多参数需要精确给定，否则效果不佳，但这些参数的确定目前没有统一的理论依据，特别是对VM D 分解层数K 的确定，直接影响分解的有效性和正
确性．此外，二次型惩罚因子α直接影响分解精度，一些学者使用不同优化算法来解决这一问
题[５Ｇ８]．Z h a n g 等[９frequency函数计算频数
]使用最大加权峰度指数作为优化VM D 蚱蜢算法的适应度函数．王新刚等[１０]提
出了优化K 值的变分模态分解(VM D )和粒子优化算法(P S O )优化参数L ，与M 的最大相关峭度解卷积(M C K D )
相结合提取滚动轴承故障特征频率的方法．
该方法虽然在信号自适应分解方面得到了很
好的应用，但仍存在K 值选取不准确及选取困难等问题，从而会影响后续应用效果．本文利用中心频率法㊁相关系数和中心频率均值法对VM D 进
行分析研究，到分解的稳定状态，进而得到最优解优化的K 值，该方法有效且能精确选择VM D 分解层数K 值．
1㊀变分模态分解(VMD )
1.1㊀变分模型
VM D 是一种新颖的信号时频分析方法，对非线性㊁非平稳信号处理效果良好．该方法本质上是通过利用交替方向乘子法(A l t e r m a t i n g D
i r e c Ｇt i o n M e t h o do f M u l t i p
l i e r s ,A D MM )，将实际问题转化为解决数学中的变分问题，确保每个模态的带宽之和最小，每个模态中心频率值各不相
同[１１Ｇ１２]．
只有当所有模态u k (
t )之和等于原始信号f (
t )，才能确保各个模态的带宽为最小．采用H i l b e r t 变换对每个模态u k (
t )估计其单边频谱，再乘以中心频率e －j ωk t ，得到求解变分问题的数学模型如下:
m i n u k {},w k {}ðk
∂t δ(t )＋j πt æèçöø÷∗u (t )éëêêùûúúe －j ωt ２２
{
},
s ．t ．ðk
u k ＝f ,
ìîíïïïï(１)其中,ωk (t )为各模态的中心频率值,δ(t )为狄拉克分布,k 为模态分解层数．1.2㊀变分求解
将增广拉格朗日函数引入求解过程，使约束型的变分问题变换为非约束型的变分问题:
L ({u k },{ωk },λ)＝
αð
k
∂t (δ(t )＋j πt
)
∗u k (t )e －j ωk t æèçöø÷２
＋
f (
t )－ðk
u k (t )２
２＋‹λ(t ),f (
t )－ðk
u k (t )›,(２
)其中,α是为了保证原始信号f (t )在高斯噪声影响下重构精度的惩罚因子,λ(t )是拉格朗日乘法算子．
利用A D MM 方法计算增广拉格朗日函数的
最优解，即可通过VMD 方法将原始信号分解成
K 个窄带本征模态分量函数[１３]
．具体算法步骤如下:
(１)初始化{u ɡ
１k },{ω１
k },{λɡ
１}和n ，且n ＝０;(２)n ＝n ＋１,
开始整个循环;(３
)更新每个模态的频谱u ɡn ＋
１k (ω)＝f ɡ
(ω)－ði ʂk u ɡ
i (ω)－λɡ
(ω)
２１＋２α(ω－ωk )
２
．(３)(４
)更新中心频率ωn ＋
１k
＝ʏ¥０
ωu ɡ
k (ω)２d ω
ʏ¥
０
u ^
k
(
ω)２
d ω
．
(４
)(５
)更新拉格朗日乘子λ
ɡ
n ＋１
(ω)ѳλɡ
n (ω)＋τf ɡ
(ω)－ðk
u ɡ
n ＋
１k (ω)(),
(５
)其中,τ为拉格朗日乘子更新参数．(６)重复步骤(２)~(５
)，直到满足如下迭代条件
ð
k
u ɡn ＋
１k －u ɡn k ２２/u ɡ
n k
２
２
＜e ．
(６
)得到K 个
窄带本征模态函数分量，迭代结
束．若不满足迭代条件，返回步骤(２)．变分模态分解(VMD )对故障振动信号分解如图１所示．
图１㊀变分模态分解(V M D )
对故障振动信号分解６
７㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３６卷
2㊀分解层数K的选择方法
2.1㊀中心频率法
该方法首先通过选择模态数K取２~１０进行预分解，得到每个模态分量的频率中心，如图２所示，当相邻模态的中心频率接近时，被认为是信号过度分解．在这种情况下，最佳分解层数是中心频率接近时前一项的K值，即可确定分解层数K 值．图２是以轴承故障振动数据为例进行分解对应不同K值的频率中心
．
(a)分解层的中心频率K＝２
㊀
(b)分解层的中心频率K＝
３
(c)分解层中心频率K＝４
㊀
(d)分解层的中心频率K＝
５
(e)分解层中心频率K＝６
㊀
(f)分解层的中心频率K＝７
图２㊀对应于不同K的中心频率
㊀㊀当Kȡ７时，发生过度分解的问题，因此取K
＝６．判断方法需要单独计算K值，不同K值下
的中心频率如图３所示，对于K＝７，在最大中心
频率之前，模式３㊁模式４㊁模式５和模式６的中心
频率非常接近，原因是模式混叠现象引起的过度
分解．
2.2㊀皮尔逊相关系数(PCC)法
P C C(P e a r s o nC o r r e l a t i o nC o e f f i c i e n t,P C C)
是判断向量间相关性的一种方法．输出值的变化
范围为－１到１，其值为０时表示不相关，为－１
时表示负相关，为１时表示正相关．假设样本的
P C C为:
r＝
１
n－１ðn i＝１X i－X
－
S X
æ
è
ç
ö
ø
÷
Y i－Y－
S Y
æ
è
ç
ö
ø
÷,(７)
其中,(X i－X－)/S X是标准化变量,X－是样本平
均值,S X是样本标准差．
对轴承内圈的故障振动信号进行VM D,
７７第４期张军:VM D在信号分解中的K值确定方法
图３㊀不同分解层K 下信号各I M F 的中心频率
VM D 每个模态的P C C 值如图４所示．其中P C C
阈值设置为０．０２，即P C C 值大于０．０２的模态认定为有效模态,P C C 值小于０．０２的模态认定为噪声信号或者趋势余项．当K ＝７㊁８㊁９㊁１０㊁１１时,
P C C 值均低于０．０２，因此，最佳分解层数K ＝６．2.3㊀瞬时频率均值法
对原始信号进行VM D 产生K 个模态，其中
第i 个模态的采样点数为M ，则第j 个采样点的瞬时频率为f i j ．
使用VM D 对原始信号进行预分解，将得到的模态分量进行H i l b e r t 变换．
通过i n s t f r e q
()函数计算各模态的瞬时频率．f m e
a n ＝１
N ðj
f i j ,(８
)式中,N 为第i 个模态分量瞬时频率个数
．
图４㊀皮尔逊相关系数
㊀㊀通过计算得到各个模态的瞬时频率,
进而求得每个模态的瞬时频率均值，根据其变化曲线判断是否会出现过度分解，最终确定最佳分解层数
K ．VM D 模态分量为２~１０时的瞬时频率均值曲线如图５所示．随着K 值增加，瞬时频率均值曲线在K ＝７时发生弯曲，由原来的单调递减变为单调递增，此时即为VM D 分解层数的最优值，因此选取K ＝６为最佳参数．当K ＞６时，从第７个模态开始，瞬时频率跳变比较严重．因此通过计算各个模态的瞬时频率均值解决K 值的选取问题，获得VM D 的最佳分解层数
．
图５㊀V M D 模式分量瞬时频率的平均值
８
７㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３６卷
㊀㊀每个模型的包络频谱如图６所示．
其中每个模型的包络频谱分量为VM D ，包括１６１．１H z 的内圈故障频率和５８．５９H z 的二次谐波频率．采用同样的方法，最终确定了故障信号的分解层数K ＝６,
这与其他两种方法的K 值分析一致
．图６㊀每种模式的包络频谱
3㊀结论
本文研究了VM D 分解层数K 值的确定方法，综合分析选择最佳分解层数K ，有效解决K 值不确定性带来的困扰．该方法在信号处理过程中既能有效获取模态分量，提取原始信号中的有效信息，又能滤除较为敏感的噪声，为VM D 在信号处理中的应用提供参考．参考文献:
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[责任编辑：李㊀岚]
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７第４期张军:VM D 在信号分解中的K 值确定方法

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