多目标形貌优化方法研究
琎李颖 昝建明 周建文
（长安汽车工程研究院CAE 工程所，重庆 401120）
摘  要:  工程界目前对拓扑优化和形貌优化问题的研究主要集中在单目标函数方面，但是在实际工程应用中，须同时考虑多个目标函数和多个约束的情况。在多目标优化中，由于各目标之间很难同时达到最优化，各目标的最优解时常出现对立局面，所以要求一个全局最优解是很困难的。本文利用折衷规划法结合平均频率法得到多目标优化的综合目标函数，可以有效地求解出多目标函数的最优解，从而为多目标优化提供解决方案。本文以汽车地板加强件为例，分别进行了柔度最小化、固有频率最大化以及多目标的形貌优化，其结果显示多目标形貌优化方案较大地提高了部件本身的结构力学和NVH 性能。
关键词:  多目标优化  形貌优化  柔度  固有频率
1 概述
优化设计是将设计问题的物理模型转化为数学模型，运用最优化的数学理论，选用适当的优化方法，并借助计算机求解该数学模型，从而得出基于该模型的最佳设计方案的一种设计方法。现在，CAE 技术中一个非常重要的组成部分—结构优化技术已经发展成熟并成功地被用于产品设计，它正在改变传统的产品设计
流程。在概念设计阶段，优化技术可以对产品所需性能全部予以考虑，在给定的设计空间下到最佳的产品设计思路；在虚拟试验阶段发现问题后，优化技术可以直接给出产品改进方案，而不仅仅是对产品进行校核，从而真正帮助设计工程师设计出创新和可靠的产品。这种全新的产品设计过程，就是优化驱动的产品设计过程ODDP （Optimization Driven Design Process ），如图1所示：
图1 优化驱动的产品设计流程
形貌优化是一种形状最佳化的方法，即在板型结构中寻最优的加强筋分布的概念方法，用于
frequency函数计算频数设计薄壁结构的强化压痕，在减轻结构重量的同时满足强度、频率等要求。与拓扑优化不同的是，形貌优化不删除材料，而是在可设计区域中根据节点的扰动生成加强筋。
目前工程界对优化问题的研究主要集中在单目标函数方面，但是在实际工程应用中，须同时考虑多个目标函数和多个约束的情况。在多目标优化中，由于各目标之间很难同时达到最优化，各目标的最优解时常出现对立局面，所以要求一个全局最优解是很困难的。 1.1静态多工况刚度优化目标函数
一般来说，不同的载荷工况将得到不同的结构拓扑。传统的多目标优化问题采用线性加权和法将多目标
问题转化为单目标问题求解，但对于非凸优化问题来说，该方法不能确保得到所有的pareto 最优解。现今研究多目标拓扑优化问题一般采用折衷规划法(compromise programming approach)。
对于刚度提高问题，通常把刚度最大问题等效为柔度最小问题来研究，
柔度则用应变能来定义。
时间、费用
于是由折衷规划法结合功效函数法可得到多刚度优化的目标函数：
式中，m 为载荷工况总数；k W 为第k 个工况的权值；q 为惩罚因子；k C (ρ)为第k  个工况的
柔度目标函数；max k C 、min
k C 分别为第k 个工况柔度目标函数的最大值和最小值。 1.2动态固有频率优化目标函数
动态振动频率拓扑优化将低阶的几阶重要频率的最大化作为目标函数，并将结构体积作为约束函数，但是在优化过程中经常会遇到这样的情况：当其中一个阶次的频率达到最大时，其他阶次的频率可能降到一个较低的值，而且几阶频率之间可能会相互调换次序。这样就会出现目标函数振荡问题。为了克服几阶频率目标函数出现振荡的现象，本文用平均频率公式(mean frequency formulation)来定义固有频率优化的目标函数：
式中，Λ(ρ)为平均频率；i λ为第i 阶特征频率；0λ、
s 为给定的参数，用来调整目标函数；i W 为第i 阶频率的权重系数；f 为需要优化的低阶频率的阶次。
平均频率公式定义了一个光滑的目标函数。在优化过程中，当平均频率公式中的几个低阶模态的频率发生交替时，目标函数仍然保持光滑，这是因为这几个低阶模态的贡献在公式中已经被考虑了。 1.3同时考虑刚度和频率要求的多目标优化目标函数
结构多目标优化是同时考虑静态多刚度目标和动态振动频率目标的优化。由折衷规划法结合平均频率法可得到多目标优化的综合目标函数：
式中，F(ρ)为综合目标函数；W 为柔度目标函数的权重；min Λ、max Λ分别为频率目标函数的最小值和最大值，用来消除量纲。
本文以汽车地板加强件为例，分别进行了柔度最小化、固有频率最大化以及多目标的形貌优化。柔度和频率之间很难同时达到最优化，因为柔度最小化会导致结构频率的降低，而固有频率最大化会导致结构柔度的升高。通过在OptiStruct 中定义综合目标函数F(ρ)，可以有效地求解出多目标函数的最优解，从而为多目标优化提供解决方案，提高了部件本身的结构力学和NVH 性能。
2 静力工况下的形貌优化分析
利用HyperMesh 对CAD 模型进行有限元模型的建立。地板加强件采用SHELL 单元进行网格划分。
图2地板加强件有限元模型
2.1边界条件
约束地板加强件前后端四个螺栓安装孔的123456自由度，在中部施加4个500N的载荷。
2.2优化条件
将有限元网格划分为设计区域（蓝）和非设计区域（黄），选取形状作为设计变量，载荷施加点在上述工况下的合位移最小作为目标函数进行形貌优化分析，边界条件如图3所示。
图3静力工况边界条件
2.3分析及优化结果
加强件在上述工况下的分析及优化结果如表1所示：
表1  静力工况的分析结果
地板加强件最小柔度(mm/N)最大位移(mm)最大应力(MPa)
原始模型34468 112 1260
优化模型7664 24 621
图4静力工况优化加强筋分布云图
图5静力工况原始模型位移云图图6静力工况原始模型应力云图
图5转向节应力云图 图6转向节位移云图
图7静力工况优化模型位移云图图8静力工况优化模型应力云图
3 动态工况下的形貌优化分析
3.1边界条件
计算1到100Hz内地板加强件的自由模态。
3.2优化条件
设计区域和非设计区域的划分同上，选取形状作为设计变量，一阶固有频率的最大化作为目标函数进行形貌优化分析。（在Control Card中设置MODETRAK卡片，以避免出现模态振荡的现象）
3.3分析及优化结果
加强件在上述工况下的分析及优化结果如表2所示：
表2  动态工况的分析结果
加强件一阶固有频率（Hz）
原始模型26.1
优化模型46.3
图9动态工况优化加强筋分布云图
图10原始模型位移云图(26.1Hz) 图11优化模型应力云图（46.3 Hz）
4 多目标优化分析

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