实验七  傅里叶变换
一、实验目的
    傅里叶变换是通信系统、图像处理、数字信号处理以及物理学等领域内的一种重要的数学分析工具。通过傅里叶变换技术可以将时域上的波形分 布变换为频域上的分布，从而获得信号的频谱特性。MATLAB提供了专门的函数fft、ifft、fft2(即2维快速傅里叶变换)、ifft2以及fftshift用于实现对信号的傅里叶变换。本次实验的目的就是练习使用fft、ifft以及fftshift函数，对一些简单的信号处理问题能够获取其频谱特性（包括幅频和相频特性）。
二、实验预备知识
1.  离散傅里叶变换(DFT)以及快速傅里叶变换(FFT)简介
设x(t)是给定的时域上的一个波形，则其傅里叶变换为
显然X( f )代表频域上的一种分布(波形)，一般来说X( f )是复数。而傅里叶逆变换定义为：
因此傅里叶变换将时域上的波形变换为频域上的波形，反之，傅里叶逆变换则将频域上的波形变换为时域上的波形。
由于傅里叶变换的广泛应用，人们自然希望能够使用计算机实现傅里叶变换，这就需要对傅里叶变换(即(1)式)做离散化处理，使之符合电脑计算的特征。另外，当把傅里叶变换应用于实验数据的分析和处理时，由于处理的对象具有离散性，因此也需要对傅里叶变换进行离散化处理。而要想将傅里叶变换离散化，首先要对时域上的波形x(t)进行离散化处理。采用一个时域上的采样脉冲序列:
  (t－nT ),  n = 0, 1, 2, …, N－1；
可以实现上述目的，如图所示。其中N为采样点数，T为采样周期；fs = 1/T是采样频率。注
意采样时，采样频率fs必须大于两倍的信号频率（实际是截止频率），才能避免混迭效应。
    接下来对离散后的时域波形的傅里叶变换进行离散处理。与上述做法类似，采用频域上的 脉冲序列：
  ( f－n/T0), n = 0, 1, 2, …, N－1；T0= NT  为总采样时间
可以实现傅里叶变换的离散化，如下图示。不难看出，离散后的傅里叶变换其频率间隔(频率轴上离散点的间隔，即频域分辨率)
因此要增加分辨率须增加采样点数目N。频域上每个离散点对应的频率为:
显然n = 0的点对应于直流成分。
    经过以上离散化处理之后，连续积分的傅里叶变换(1)式转变为如下离散形式：
其中tk= kT（k=0,1,2,…,N-1）代表采样点时刻。X( fn)一般是复数，因此离散傅里叶变换(DFT)后变成一个N点（采样点数）的复数序列。X( fn)绝对值代表振幅，其幅角代表相位，因此由(5)式可以给出DFT的振幅频谱和相位频谱。(5)式通常又简写成如下形式：
其中  ，x是采样点数据，它是一个N个点的向量，DFT的结果X是N个点的复数向量。(5)式或(6)式就是对傅里叶变换进行数值计算的基础。
    一般采样点数N越大，DFT的结果越接近真实的情况，但是当N较大时，(6)式的计算量很大，因为使用计算机求解(6)式时，总共要执行N2次复数乘法和N×(N-1)次复数加法。所以直接用DFT算法（即(5)式）进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。为了减轻计算的压力，人们提出了一种所谓快速傅里叶变换(FFT)的思想：
取N =2m，首先将N个点的采样数据分成两个N/2点的序列：
      （偶数序列）
      （奇数序列）
这样处理的好处是可以把(6)式分解为两个N/2点的DFT，使计算量降下来。接下来再将N/2点的序列x1仿照上述做法进一步分裂成2个N/4点的序列x3和x4，另一序列x2亦做如此处理，分裂成2个N/4点的序列x5和x6。这样两个N/2点的序列分成了更短的4个N/4点的序列，依次类推，最后的结果是将一个N点的序列x裂成了N个点的单点序列：x0, x1, x2, …, xN-1。这样做可以将DFT的运算效率提高1－2个数量级，为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造了条件，从而推动数字处理技术的发展。由此可见FFT的思想实质是
不断地把长序列的DFT计算分解成若干短序列的DFT，并利用旋转因子(即WN )的周期性和对称性来减少DFT的运算次数。所以FFT就是DFT的快速算法。
有关FFT算法的详细介绍和理论推导参见有关的书籍，这里不做进一步介绍。
2.  FFT的MATLAB实现
    为了实现快速傅里叶变换，MATLAB提供了fft、ifft、fft2、ifft2以及fftshift函数，分别用于一维和二维离散傅里叶变换(DFT)及其逆变换。借助这些函数可以完成很多信号处理任务。考虑到信号处理包含的领域很广泛，这里只介绍一维傅里叶变换及其逆变换函数。
(1) fft函数
该函数使用了快速算法来实现时域信号的离散傅里叶变换。常用的格式：
Y= fft (x)
Y= fft (x, m)
Ｙ　返回值（复数），返回m点的DFT序列，即(6)式左边的X；
m　计算时使用的数据点数（样本数）；
x　时域信号x(t)在采样点tk处的值，即(6)式右边的x；若实际采样点数目为Ｎ（m和Ｎ都须是２的幂次），则ｘ为Ｎ个元素（即长度Ｎ）的向量；若向量ｘ的长度小于m，那么计算时将自动在ｘ序列的后面补０；若ｘ的长度大于m，则ｘ自动截断，使之长度为m。对信号进行频谱分析时，数据样本应有足够的长度，一般FFT程序中所用数据点数（m）最好与原信号含有的数据点数（即输入的样本数Ｎ）相同，这样的频谱图具有较高的质量，可减小因补零或截断而产生的影响。
两点说明：
① 关于FFT振幅频谱和相位频谱的计算
  由于傅里叶变换的结果一般是复数，所以
●对fft的结果取绝对值abs()可以得到振幅，即
Amplitude = abs(Y)
需要注意的是这样得到的幅值实际并非真正的信号振幅，因其值与FFT使用的数据点数N有关，但不影响分析结果，在IFFT（逆变换）时已经做了处理。要得到真实的振幅值的大小，只要将上述结果除以N/2即可。
●对fft的结果使用函数angle()可以得到相位的结果。但是使用angle函数计算复数
的相角时，系统规定一、二象限的角为0  ；三、四象限的角为-  0。因此若一个角度本来应该从0变到2 ，但计算得到的结果却是0～ ，再由- ～0，在 处发生跳变，跳变幅度为2 ，这就叫相位的卷绕。这种相位的卷绕会使得相频图不连续，呈现锯齿状，为了平滑相频图，通常要再使用unwrap()函数进行相位的解卷绕。因此FFT的相位频谱图应该如下实现
Phase = unwrap(angle(Y))
②　FFT的振幅频谱具有对称性
如下图所示。
因此用FFT对信号做谱分析，只需考察0~Nyquist频率范围内（共N/2+1个频率点）的幅频特性。
(2) fftshift函数
其作用是将零频点移到频谱的中间（即Nyquist频率处），使用格式：
Y=fftshift(X)
X是向量，该命令将零频点移动到频谱X的中间，并交换频谱X的左右两半。将零频点放到频谱的中间对于观察傅立叶变换是有用的。
例１：对时域信号进行频谱分析。
fs=100; % 采样频率>2倍的信号频率
N=256;  % 采样点数目用subplot函数（=2的幂次）
n=0:N-1; % 构造采样点序列
t=n/fs;  % 得到采样时间序列，t=nT=n/fs
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); % 产生时域信号的样本值，向量
Y=fft(x,N);  % N点的DFT计算
mag=abs(Y);  % FFT的振幅
phase=unwrap(angle(Y));  % FFT的相位
% 1. 以下绘制物理频谱图（即正频部分）
fn=(0:N/2)*fs/N;  % 频率轴上的离散频率点，起始于0频(对应直流成分)，终
%于Nyquist频率fs/2，共N/2+1个频率点
subplot(2,2,1)% 将图形窗口分割为2×2的子窗口，并指定第1个子窗口为绘图区
plot(fn,mag(1:N/2+1))  % 取出前N/2+1个振幅作图，即正频率分量
xlabel('频率/Hz');ylabel('振 幅');
title('图1： 物理(正频)幅频图');grid on % 加网格线
% 2. 以下绘制全频率的幅频图
fn1=(0:N-1)*fs/N; 
subplot(2,2,2)  %指定第2个子窗口为绘图区
plot(fn1,mag);

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