数学建模MATLAB学习插值⼀维插值函数、三次样条插值1.⼀维插值函数
Matlab中有现成的⼀维插值函数interp1，语法为
y=interp1(x0,y0,x,'method')
x0,y0是已知的数据向量，其中x应以升序或者降序排列（所有的插值⽅法要求x0是单调的），x1是插值点的⾃变量坐标向量；
其中method指定插值的⽅法，默认为线性插值。其值可为
'nearest'  最近项插值 'linear'    线性插值
'spline'    ⽴⽅样条插值 'cubic'    ⽴⽅插值
'linear'    线性插值 'spline'    ⽴⽅样条插值
当x0为等距时可以⽤快速插值法，使⽤快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、'*spline'、'*cubic'。
实例：
y=1/（x^3+2）  -4<=x<=4  ⽤13个节点作三种插值，并⽐较结果。
在MATLAB中新建脚本，代码如下：
x0=-4:0.5:4;
y0=1./(2+x0.^3);
x=-4:0.2:4;
y1=interp1(x0,y0,x,'linear');
y2=interp1(x0,y0,x,'spline');
y3=interp1(x0,y0,x,'nearst');
subplot(2,2,1),plot(x0,y0,'r-p');title('y=1/(x^3+2)');%suplot⼀个窗⼝显⽰多个图形，并排版
subplot(2,2,2),plot(x0,y0,'r-',x,y1);title('linear');
subplot(2,2,3),plot(x0,y0,'r-',x,y2);title('spline');
subplot(2,2,4),plot(x0,y0,'r-',x,y3);title('nearst');
保存并运⾏，得到如下：
2.三次样条插值
在Matlab中数据点称之为断点。如果三次样条插值没有边界条件，最常⽤的⽅法，就是采⽤⾮扭结（not-a-knot）条件。这个条件强迫第1个和第2个三次多项式的三阶导数相等。对最后⼀个和倒数第2个三次多项式也做同样地处理。
Matlab中三次样条插值spline有如下函数
y=interp1(x0,y0,x,'spline')；
y=spline(x0,y0,x)；
pp=csape(x0,y0,conds)；
pp=csape(x0,y0,conds,valconds)；y=ppval(pp,x)；
其中x0,y0是已知数据点，x是插值点，y是插值点的函数值。
对于三次样条插值，提倡使⽤函数csape，csape的返回值是pp形式，要求插值点的函数值，必须调⽤函数ppval。
pp=csape(x0,y0)使⽤默认的边界条件，即Lagrange边界条件。
pp=csape(x0,y0,conds,valconds)中的conds指定插值的边界条件，其值可为
'complete'    边界为⼀阶导数，⼀阶导数的值在valconds参数中给出，若忽略valconds参数，则按缺省情况处理。
'not-a-knot'  ⾮扭结条件。
'periodic'    周期条件。
'second'      边界为⼆阶导数，⼆阶导数的值在valconds参数中给出，若忽略valconds参数，⼆阶导数的缺省值为[0, 0]。
'variational'  设置边界的⼆阶导数值为[0,0]。
对于⼀些特殊的边界条件，可以通过conds的⼀个矩阵来表⽰，conds元素的取值为0，1，2。
conds(i)=j的含义是给定端点的阶导数，即conds的第⼀个元素表⽰左边界的条件，第⼆个元素表⽰右边界的条件，conds=[2,1]表⽰左边界是⼆阶导数，右边界是⼀阶导数，对应的值由valconds给出。
详细情况请使⽤帮助doccsape。
实例1：
x0=[0  3  5  7  9  11  12  13  14  15];
y0=[0  1.2  1.7  2.0  2.1  2.0  1.8  1.2  1.0  1.6];
x=0:0.1:15;
y1=interp1(x0,y0,x);
y2=interp1(x0,y0,x,'spline');
pp1=csape(x0,y0);
y3=ppval(pp1,x);
pp2=csape(x0,y0,'second');
y4=ppval(pp2,x);
[x',y1',y2',y3',y4']
subplot(1,3,1)
plot(x0,y0,'+',x,y1)
title('Piecewise linear')
subplot(1,3,2)
plot(x0,y0,'+',x,y2)
title('Spline1')
subplot(1,3,3)
plot(x0,y0,'+',x,y3)
title('Spline2')
dx=diff(x);
dy=diff(y3);
dy_dx=dy./dx;
dy_dx0=dy_dx(1)
ytemp=y3(131:151);
ymin=min(ytemp);
index=find(y3==ymin);
xmin=x(index);
[xmin,ymin]
实例2：
用subplot函数
代码如下：
x0=0.15:0.01:0.18;
y0=[3.5 1.5 2.5 2.8];
pp=csape(x0,y0)  %默认的边界条件，Lagrange边界条件format long g
fs  %显⽰每个区间上三次多项式的系数
s=quadl(@(t)ppval(pp,t),0.15,0.18)  %求积分
format  %恢复短⼩数的显⽰格式
程序运⾏后得到：
xishu =
-616666.666666667                    33500        -473.333333333334                      3.5
-616666.666666667                    15000          11.6666666666671                      1.5
-616666.666666668        -3499.99999999999          126.666666666667                      2.5 s =
0.068625

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