哈夫曼编码
.问题描述
哈夫曼编码是广泛地用于数据文件压缩的十分有效的编码方法。其压缩率通常在20%～90%之间。哈夫曼编码算法用字符在文件中出现的频率表来建立一个用0，1串表示各字符的最优表示方式。
哈夫曼编码树的带权路径长度.问题分析
对每一个字符规定一个0,1串作为其代码，并要求任一字符的代码都不是其它字符代码的前缀。这种编码称为前缀码。
设C为编码字符集，则表示其最优前缀码的二叉树中恰有|C|个叶子，|C|-1个内部结点。其中，每个叶子对应于字符集中一个字符。
二叉树T的代价：编码文件需要二进制位数
使 达到最小的前缀码编码方案称为给定编码字符集C的最优前缀码。
哈夫曼提出构造最优前缀码的贪心算法，由此产生的编码方案称为哈夫曼编码。哈夫曼算法以自底向上的方式构造表示最优前缀码的二叉树T。算法以|C|个叶结点开始，执行|C|－1次的“合并”运算后产生最终所要求的树T。
编码字符集中每一字符c的频率是freq。以freq为键值的最小堆优先队列Q用在贪心选择时有效地确定算法当前要合并的2棵具有最小频率的树。一旦2棵具有最小频率的树合并后，产生一棵新的树，其频率为合并的2棵树的频率之和，并将新树插入最小堆优先队列Q。
经过n-1次的合并后，优先队列中只剩下一棵树，即所要求的树T。
.算法描述：
HUFFMAN(C) //哈夫曼编码算法
n = |C|
// 初始化最小优先队列Q
INITIALIZE(Q) = BUILD-MIN-HEAP(C)
for i=1 to n-1
allocate a new node z
z.left = x ← EXTRACT-MIN(Q) //提取队列Q中的最前列结点
z.right = y ← EXTRACT-MIN(Q)
z.freq ← x.freq + y.freq
INSERT(Q, z) //在队列Q中插入结点z
return EXTRACT-MIN(Q)
时间复杂度描述：
INITIALIZE(Q) = BUILD-MIN-HEAP(C)的时间复杂度为O（n）；
循环 for i=1 to n-1的时间复杂度为O（n）；
其中， z.left = x ← EXTRACT-MIN(Q) 和z.right = y ← EXTRACT-MIN(Q) 的时间 复杂度分别为O(nlogn)；
INSERT(Q, z)的时间复杂度为O（nlogn）；
最后返回最前列结点return EXTRACT-MIN(Q)的时间复杂度也为O(nlogn)。
所以，这个哈弗曼算法的时间复杂度为T（n）=O(nlogn)。
.程序
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
typedef struct //结点结构体
{
unsigned int weight; //用来存放各个结点的权值
unsigned int parent,LChild,RChild; //指向双亲、孩子结点的指针
} HTNode, *HuffmanTree; //动态分配数组，存储哈夫曼树
typedef char *HuffmanCode; //动态分配数组，存储哈夫曼编码
//选择两个parent为0，且weight最小的结点s1和s2
void Select(HuffmanTree *ht,int n,int *s1,int *s2)
{
int i,min;
for(i=1; i<=n; i++)
{
if((*ht)[i].parent==0)
{
min=i;
break;
}
}
for(i=1; i<=n; i++)
{
if((*ht)[i].parent==0)
{
if((*ht)[i].weight<(*ht)[min].weight)
min=i;
}
}
*s1=min;
for(i=1; i<=n; i++)
{
if((*ht)[i].parent==0 && i!=(*s1))
{
min=i;
break;
}
}
for(i=1; i<=n; i++)
{
if((*ht)[i].parent==0 && i!=(*s1))
{
if((*ht)[i].weight<(*ht)[min].weight)
min=i;
}
}
*s2=min;
}
//构造哈夫曼树ht,w存放已知的n个权值
void CrtHuffmanTree(HuffmanTree *ht,int *w,int n)
{
int m,i,s1,s2;
m=2*n-1; //总共的结点数
*ht=(HuffmanTree)malloc((m+1)*sizeof(HTNode));
for(i=1; i<=n; i++) //1--n号存放叶子结点，初始化
{
(*ht)[i].weight=w[i];
(*ht)[i].LChild=0;
(*ht)[i].parent=0;
(*ht)[i].RChild=0;
}
for(i=n+1; i<=m; i++) //非叶子结点的初始化
{
(*ht)[i].weight=0;
(*ht)[i].LChild=0;
(*ht)[i].parent=0;
(*ht)[i].RChild=0;
}
printf("\n哈夫曼树为: \n");
for(i=n+1; i<=m; i++) //创建非叶子结点，建哈夫曼树
{ //在(*ht)[1]~(*ht)[i-1]的范围内选择两个parent为0且weight最小的结点，其序号分别赋值给s1、s2
Select(ht,i-1,&s1,&s2);
(*ht)[s1].parent=i;
(*ht)[s2].parent=i;
(*ht)[i].LChild=s1;
(*ht)[i].RChild=s2;
(*ht)[i].weight=(*ht)[s1].weight+(*ht)[s2].weight;
printf("%d (%d, %d)\n",(*ht)[i].weight,(*ht)[s1].weight,(*ht)[s2].weight);
}
printf("\n");
}
//从叶子结点到根，逆向求每个叶子结点对应的哈夫曼编码
void CrtHuffmanCode(HuffmanTree *ht, HuffmanCode *hc, int n)
{
char *cd; //定义的存放编码的空间
int a[100];
int i,start,p,w=0;
unsigned int c;
hc=(HuffmanCode *)malloc((n+1)*sizeof(char *)); //分配n个编码的头指针
cd=(char *)malloc(n*sizeof(char)); //分配求当前编码的工作空间
cd[n-1]='\0'; //从右向左逐位存放编码，首先存放编码结束符
for(i=1; i<=n; i++) //求n个叶子结点对应的哈夫曼编码
{
a[i]=0;
start=n-1; //起始指针位置在最右边
for(c=i,p=(*ht)[i].parent; p!=0; c=p,p=(*ht)[p].parent) //从叶子到根结点求编码
{
if( (*ht)[p].LChild==c)
{
cd[--start]='1'; //左分支标1
a[i]++;
}
else
{
cd[--start]='0'; //右分支标0
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