初中数学竞赛辅导讲义---锐角三角函数
    古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin、cos、tg、ctg的通用形式．
    三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：
    1．单调性；
    2．互余三角函数间的关系；
    3．同角三角函数间的关系． 
    平方关系：sin2α+cos2α=1；
    商数关系：tgα=，ctgα=；三角函数公式大全初中数学
    倒数关系：tgαctgα=1．
【例题求解】
【例1】 已知在△ABC中，∠A、∠B是锐角，且sinA＝，tanB=2，AB=29cm，
则S△ABC =      ．
                                               
思路点拨  过C作CD⊥AB于D，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=，tanB=，设CD=5m，AC＝13m，CD＝2n，BD＝n，解题的关键是求出m、n的值．
注：设△ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边，R为△ABC外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：
    (1)  S△ABC=；
  （2）．
【例2】  如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，BC=1，则AC=(    ) 
    A．  B．  C．0.3    D．
                                         
思路点拨  由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．
注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．
  （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．
【例3】 如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，过BC的中点D作DE⊥AB于E，连结CE，求sin∠ACE的值．
思路点拨  作垂线把∠ACE变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．
【例4】  如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC，
    (1)求证：AC＝BD；
    (2)若sinC=，BC=12，求AD的长．
                                                 
思路点拨  (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明；
(2) sinC=，引入参数可设AD=12，AC＝13．
【例5】 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是方程的两个根．
(1)求实数、应满足的条件；
(2)若、满足(1)的条件，方程的两个根是否等于Rt△ABC中两锐角A、B的正弦?
                                                     
思路点拨  由韦达定理、三角函数关系建立、等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数、应满足的条件．
学历训练
1．已知α为锐角，下列结论①sinα+cosα=l；②如果α>45°，那么sinα>cosα；③如果cosα> ，那么α<60°； ④．正确的有                ．
                                                   
2．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，BC=1，cosB，则这个菱形的面积为      ．                                             
3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB＝BD，利用此图可求得tan75°=    ．
4．化简
  (1)=          ．
  (2)sin2l°+sin22°+…+sin288°+sin289°=        ．
5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中(    )
    A．甲的最高    B．丙的最高      C．乙的最低    D．丙的最低
6．已知 sinαcosα=，且0°<α<45°则coα-sinα的值为(    )
    A．          B．      C．  D．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，D是AC的中点，则ctg∠DBC的值是(    )
    A．      B．      C．     D．
8．如图，在等腰Rt△ABC中．∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为(    )
A．      B．2      C． 1      D．
                                                     
9．已知关于的方程的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m的值．
10．如图，D是△ABC的边AC上的一点，CD=2AD，AE⊥BC于E，若BD＝8，sin∠CBD=，求AE的长．                                       
11．若0°<α<45°，且sinαconα=，则sinα=        ．
12．已知关于的方程有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是                ．
13．已知是△ABC的三边，a、b、c满足等式，且有，则sinA+sinB+sinC的值为              ．           

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。