高考数学复合函数求导公式总结
幂函数求导公式表高考数学中，复合函数求导是一个重要的知识点。在解题过程中，掌握求导的公式和方法，可以大大减少解题的时间和复杂度。下面我将总结高考数学中常见的复合函数求导公式。
一、基本复合函数求导法则
1.基本求导法则
对于单个函数的求导，我们可以用基本求导法则来求解。例如，对于常数函数 f(x) = c (c为常数)，其导函数为 f'(x) = 0。而对于多项式函数 f(x) = x^n (n为自然数)，其导函数为 f'(x) = nx^(n-1)。另外，对于指数函数 f(x) = e^x，其导函数为 f'(x) = e^x。在求导时，还需要注意链式法则和乘积法则等。
2.复合函数求导法则
复合函数是由一个函数的输出作为另一个函数的输入而形成的函数。在求复合函数的导数时，我们需要先求外函数的导数，然后再乘上内函数的导数。
例如，对于复合函数f(g(x))，其导数可以通过以下公式求解：
[f(g(x))]′=f′(g(x))g′(x)
这个公式称为复合函数求导的链式法则。
二、特殊复合函数求导公式
1.反函数
设y=f(x)是x=g(y)的反函数，则有以下公式：
[g(f(x))]′=[f'(x)]⁻¹
2.自然对数函数的复合
设 y = ln(u)，则有以下公式：
[ln(u)]′= u' / u
3.幂函数的复合
设y=u^v，其中u是关于x的函数，v是关于x的函数，则有以下公式：
[u^v]′= v' u^(v-1) + v ln(u)u^v u'
其中v'是v的导数，u'是u的导数。
4.指数函数的复合
设y=a^u，其中a是常数，u是关于x的函数，则有以下公式：
[a^u]′= ln(a) a^u u'
其中u'是u的导数。
5.对数函数的复合
设 y = log_a(u)，其中 a 是常数，u 是关于 x 的函数，则有以下公式：
[log_a(u)]′= 1 / (ln(a) u) u'
其中u'是u的导数。
三、例题
1. 设 y = sin(2x)，求 dy/dx。
解：我们可以将 y = sin(2x) 视为复合函数，其中外函数是 y = sin(u)，内函数是 u = 2x。
计算外函数的导数：[sin(u)]′= cos(u)
计算内函数的导数：u'=2
根据链式法则，dy / dx = [sin(u)]′ * u' = cos(u) * 2 = 2cos(2x)
2. 设 y = ln(2x + 1)，求 dy/dx。
解：我们可以将 y = ln(2x + 1) 视为复合函数，其中外函数是 y = ln(u)，内函数是 u = 2x + 1
计算外函数的导数：[ln(u)]′= 1 / u
计算内函数的导数：u'=2
根据链式法则，dy / dx =  [ln(u)]′ * u' = 1 / u * 2 = 2 / (2x + 1)
四、总结
复合函数求导是高考数学中的一个重要知识点，掌握了相关的公式和方法，可以帮助我们快速求解复合函数的导数。在解题时，需要灵活运用基本求导法则和链式法则，将复合函数拆解成外函数和内函数，分别求导。另外，还需要注意特殊复合函数的求导公式，如反函数、自然对数函数的复合、幂函数的复合、指数函数的复合和对数函数的复合等。

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