2022级《高等数学Ⅰ》期末复习提纲——知识点分析
一、函数的定义域、复合函数的复合过程及其求导、函数的基本性质
1.求函数的定义域：取满足函数的各方程解的交集，再把所有交集合并，如例P2例1.
2.
为了使定义域在数学上有意义（常见求函数的定义域主要应考虑的6点），要求： （1）分母不能为0。如1
1
()f x x −=
时，10x −≠； （2
）偶次根号下非负。如()f x =时，20x −≥；
（3）对数的真数大于0。如(
)
2
3()ln 2f x x =−时，2
230x −>；
（4）正切符号下的式子不等于ππ2k +
，k Z ∈。如n 2ta y x =，2ππ2
x k ≠+； （5）余切符号下的式子不等于πk ，k Z ∈。如t 2co y x =，2πx k ≠； （6）反正弦、反余弦符号下的式子绝对值小于等于1。 如()1arcsi 2n y x =+，211x +≤；()1arcco 2s y x =−，211x −≤.
2.写复合函数的复合过程：把所给函数表示成基本初等函数与多项式函数的复合.（基本初等
函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）. 基本方法：由外往里，逐层写出，直至多项式函数为止。 3.函数的基本性质：单调性、有界性、奇偶性、周期性
P103例6.11（当结论用）  设()f x 是[],a a −上的连续函数，则 （1）若()f x 是奇函数，则()d 0a
a f x x −=⎰；
（2）若()f x 是偶函数，则()()0
d 2d a a
a
f x x f x x −=⎰⎰.
说明：定积分的计算符合该结论时，应用在定积分的计算中，可以简化运算.
二、函数极限（两个重要极限、等价无穷小替换、微积分学基本定理）
（1）第一个重要极限：00 sin lim 10x x x →⎧
⎪=⎨⎪⎩
①型
②分子与分母同变量
；
一般形式：()()()0sin lim 1f x f x f x →=. 区别于sin lim
0x x
x ∞→=，π2
sin 2lim πx x x →
=. （2）第2个重要极限：()
1
1lim 1e ,lim 1e x
x
x x x x →→∞
⎛⎫
+=+= ⎪⎝⎭() 10      ∞⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩
①型② 括号内变量部分与指数部分互为倒数
一般形式()()()
()()()
1
01lim 1e ,lim 1e f x f x f x f x x f x f →∞→⎡⎤
+=+=⎡⎤⎢⎥⎣
⎦⎢⎥⎣⎦
.
2.等价无穷小替换
（1）常用等价无穷小量（当0x →时） 1）sin arcsin tan arctan x x x x x ；
2）2
11cos 2
x x −；    3）e 1x x −；    4）()
ln 1x x +；
511
n
x .
1）
∼
∼
∼∼
2）1−
1
2
2
；      3）ln(1
4）
−
5）√1
n
3.极限（微积分学基本定理 P106） P108
（1）运用公式：()()()
()'d 'x
a
x G f t t f x =
=⎰
，或结合
()
[]()
()d '()'()u x a
f t t f u x u x =⋅⎰
.(()f t 连续，()u x 可导)
（2）求例6.16类的极限，通常使用洛必达法则处理. 三、反常积分的收敛与发散
§6.5广义积分（ P108）的例题及练习题 四、简单函数的求导与微分（一阶、二阶导）
1.六类基本初等函数的求导公式：表3.1  六类基本初等函数求导公式
211'x x ⎛⎫
=− ⎪⎝⎭
;  '=.
2.求一阶导数：
（1）简单函数求导：P42定理3.1及例3.5
定理3.1 设()(),u u x v v x ==在x 处可导，则
（1）()'''u v u v ±=±， （2）()'''uv u v uv =+,  （3）2
''
'u u v uv v v −⎛⎫= ⎪⎝⎭
.
()y f x =的一阶导数一般记为'y ，()'f x ，
d d y x ，()d d f x x
（2）复合函数求导 （P42）：()()()()()()'
'''''y f x f u x f x x ϕϕϕϕ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
或
d d d d d d y y u
x u x
=⋅
或  '''x u x y y u =⋅.  P44例3.7—3.9及相关练习题
3.求二阶导数：先求一阶导数，再对一阶导数求导，第二次求得的即为二阶导数.
4.求函数的微分（求微分先求导）：先求导，再写成()
'
d 'd d x
y y x y x == P52—P53例题及练习题（第2题——第4题）类型 五、函数的单调性、凹凸性及拐点、极值与最值
1.求函数的单调（增减）区间方法：
（1）指出函数的定义域；
（2）求导()'f x ，且令()'0f x >或()'0f x ≥；
（3）解不等式，求出不等式的解，并结合函数的定义域，即可求出函数的单调增减区间。 2.曲线的凹凸性及拐点
（1）函数()f x 在(),a b 内二阶可导，利用二阶导数的符号判定曲线的凹凸性.
定理4.6  设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内二阶可导，在(),a b 内 1）若()''0f x >，则曲线在(),a b 内为凹弧； 2）若()''0f x <，则曲线在(),a b 内为凸弧.
（2）拐点：凹弧与凸弧的分界点称为拐点. ()()00,x f x  （3）凹凸区间及拐点的求法
（1）明确函数的定义域；求一、二阶导数；
（2）求出二阶导数等于零的点，明确二阶不可导点；
（3）将上述点从小到大排列，把定义区间划分为若干子区间；
（4）在每个子区间上讨论二阶导数的符号，判定曲线的凹凸性（列表分析）； （5）归纳（指出曲线的凹凸区间）；
（6）曲线上凹凸性发生变化的点即为拐点。
3.函数的极值与最值
极值：增区间与减区间的分界点（可求值）即为极值点. （1）函数的一阶导数求极值法（函数增减性求极值法）：
1）指出定义域；
2）令()'0f x =，出驻点与不可导点（导数不存在点）；
3）在定义域内，当0x x <；时递增（()0f x '>），而0x x >时递减（()0f x '>），则0x 是极大值点；当0x x <；时递减，而0x x >时递增，则0x 是极小值点.（可列表分析） （2）二阶导数求极值法
定理4.8：设函数()f x 在驻点0x 处有二阶导数，且()0''0f x ≠，（()0'0f x ⇒≠） ①若()0''0f x >，则0x 是函数的极小值点； ②若()0''0f x <，则0x 是函数的极大值点.
定理4.8表明：如果函数()f x 在驻点0x 处的二阶导数()0''0f x ≠，那么该驻点0x 一定是极值点。
二阶导数求极值法：根据定理2按照二阶导数的符号来判定是极大值还是极小值（或判定是极大值点还是极小值点） （3）最值：“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”、“表面积最小”等问题
1）求()f x 在[],a b 上的最大值和最小值的方法： ①指明定义域；
②求()'f x ，求出()f x 在(),a b 内的驻点及不可导点；
③计算()f x 在上述驻点、不可导点处的函数值及端点处的函数值（()f a ，()f b ）； ④比较③中诸值的大小，其中最大的便是()f x 在[],a b 上的最大值，最小的便是()f x 在
[],a b 上的最小值.
2）最值特殊情形
①若()f x 是单调增（减），则最大、最小值必在端点取得.
②若0x 是可导函数的唯一极小（大）值点，则0x 必是最小（大）值点.
x
y
x
y
3）求最值一般会结合具体的应用题型：如“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”、“表面积最小”等问题，解题方法：①根据题目建立目标函数，②明确定义域，③根据求最值的方法进行求解；④再求目标函数的二阶导数，把二阶导数与0比较大小，根据定理4.8（P69）下结论.
4）最值中涉及的一些特殊立体的面积、体积、表面积公式
（1）圆锥体积长方体（P70例4.21）：2πS r =底，r 为圆锥底圆的半径；1
3
V S h =底，h 为圆锥的高.
（2）圆柱（P73 7）：底面半径为r ，高为h
πS r =底； V S h =底；
S S S =+周表底，2πS Ch rh ==周，2πC r =，C 为底圆周长同样也是圆柱侧面面积的
长；
（3）长方体（P70例4.18，P73 5）：底面的长方形的边长分别为a ，b ，长方体的高为h .
S ab =底； V S h =⨯底；
222S =⨯+⨯+⨯表底面积正侧面积侧面侧面积；
六、导数的几何意义
曲线()y f x =在点()00,x y 处可导，则曲线在点0x 处的切线斜率为()0'k f x =，应用直线的点斜式，即可求切线方程为
()()000'y y f x x x −=−
法线方程为
()
()0001
'y y x x f x −=−
−，其中()0'0f x ≠. 七、不定积分计算（基本积分公式与积分性质、第一类换元积分、第二类换元积分（不含三角换元）、分部积分） 1.基本积分公式 P82
（1）常量：d k x kx C =+⎰(k 是常数)； （2）幂函数：11d 1x x x C ααα+=++⎰()1α≠−；当1α=−时，1
d ln x x C x
=+⎰； （3）指数函数：ln x x
a a dx C a
=+⎰(0a >,1a ≠)，特别e d e x x x C =+⎰；
（4）三角函数：
sin d cos x x x C =−+⎰,          cos d sin x x x C =+⎰,
tan d ln |cos |x x x C =−+⎰,        cot d ln |sin |x x x C =+⎰,
2sec d tan x x x C =+⎰,          2csc d cot x x x C =−+⎰,    sec tan d sec x x x x C =+⎰,        csc cot d csc x x x x C =−+⎰；
（5）反三角函数：
arcsin x x C =+⎰,        2
幂函数求导公式表1
d arctan 1x x C x =++⎰
； （6）常用情形：
x C
=⎰，    2
11d x C x
x =−+⎰，    1
d ln ||x x a C x a
=±+±⎰
. 2.不定积分的性质 P82 P82例5.3及习题
（1）()()()()d d d f x g x x f x x g x x ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰. （2）()() d d k f x x k f x x =⎰⎰，其中0k ≠. 3.第一类换元积分伐（凑微分法） （1）基本流程：
()()'d x f x x ϕϕ⎡⎤⎣⎦⎰
()()
d f x x ϕϕ=⎡⎤⎣⎦⎰()
u x ϕ=令()()d f u u F u C
=+⎰()F x C ϕ=+⎡⎤⎣⎦.
（2）常考虑用凑微分方法求不定积分的形式： 1）()()d d d a x ax ax b ==+；习题5.2第4题
2）若1x α+与x α，ln x 与
1
x ，1x 与21x 同时出现； 3）sin x 与cos x ，tan x 与2sec x ， cot x 与2csc x 同时出现；
4）反三角函数及其导数同时出现，如：arcsin x
、arctan x 与
2
1
1x
+. 4.第二类换元积分法（不含三角换元）
1.形如：令t =，则n t b x a
−=，求出1
d d n nt x t a −=，代入原不定积分中，最后要记得还原变量.  P87例5.8
2.第二类换元积分法（不含三角换元）：即不含 P87例5.9及 P90第8题的（1）——（5）（不要求）
5.分部积分法P90
1.分部积分公式：d d u v uv v u =−⎰⎰    （d u v ⎰难求而d v u ⎰易求）
（公式的证明即为上述的“由乘积求导法，可以导出分部积分法”部分） 2.选择u 的次序：反、对、幂、
三、指；求v 的方法：凑微分或求不定积分. 6.计算不定积分的方法：根据题目选择适当不定积分的方法，要本着顺其自然为原则，当直接积分法、凑微分法、换元积分法均不宜考虑时，可以尝试分部积分法.

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