高中数学 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数求导公式以及积与商的函数导数求法
1、常见函数的导数公式：
常数函数的导数：；
幂函数的导数：；
如下：；
三角函数的导数：；
对数函数的导数：  
指数函数的导数：　    
2、求导数的法则
（1）和与差函数的导数：．
由此得多项式函数导数 
（2）积的函数的导数：, 
特例[C·f(x)]'＝Cf'(x)。
如①已知函数的导数为，则_____（答：）；
②函数的导数为__________（答：）；
③若对任意，，则是______（答：）
（3）商的函数的导数：  
 
例1、求下列导数
（1）y ＝；
（2）y ＝x · sin x · ln x；
（3）y ＝；
（4）y ＝．
（1）解析：∵y ＝＝
∴
（2）y'＝(x · sin x · ln x) '＝(x · sin x) ' · ln x+(x · sin x )( ln x) '
          ＝[x'sinx+x(sinx) ']·lnx+(x · sin x )
＝[sinx+xcosx]lnx+sinx
总结：如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；求导数前的变形，目的在于简化运算；求导数后应对结果进行整理化简．
（3）y'＝
（4）∵y ＝＝
∴y'＝
 
例2、求函数的导数
① y＝（2 x2－5 x ＋1）ex
② y＝
解析：① y'＝（2 x2－5 x ＋1）′ex＋（2 x2－5 x ＋1）(ex)′＝(2x2－x－4)ex
②
∴y'
总结：① 求导数是在定义域内进行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．
例3、已知曲线C：y ＝3 x 4－2 x3－9 x2＋4
（1）求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；
（2）第（1）小题中切线与曲线C是否还有其他公共点？
解析：（1）把x ＝1代入C的方程，求得y ＝－4．
∴切点为（1，－4）．
Y'＝12 x3－6 x2－18 x，
∴切线斜率为k ＝12－6－18＝－12．
∴切线方程为y ＋4＝－12（x－1），即
y＝－12 x ＋8．
由得
3 x 4－2 x3 －9 x2＋12 x －4＝0
(x －1) 2 (x ＋2) (3 x －2)＝0
x ＝1，－2，．
代入y ＝3 x 4－2 x 3 －9 x 2 ＋4，求得y ＝－4，32，0，即公共点为（1，－4）（切点），（－2，32），（，0）．
除切点外，还有两个交点（－2，32）、（，0）．
总结：直线和圆，直线和椭圆相切，可以用只有一个公共点来判定．一般曲线却要用割线的极限位置来定义切线．因此，曲线的切线可以和曲线有非切点的公共点．
 
例4、曲线S：y ＝x3－6 x 2－x ＋6哪一点切线的斜率最小？
设此点为P（x0，y0）．证明：曲线S关于P中心对称．
解析：y'＝3 x2－12 x －1
当x ＝＝2时，y′有最小值，故x 0＝2，
由P∈S知：y 0＝23－6 · 22－2＋6＝－12
即在P（2，－12）处切线斜率最小．
幂函数求导公式的证明设Q（x，y）∈S，即y ＝x3－6 x2－x ＋6
则与Q关于P对称的点为R（4－x，－24－y），只需证R的坐标满足S的方程即可．
(4－x)3－6(4－x)2－(4－x)＋6
＝64－48 x ＋12 x 2 －x 3－6（16－8 x ＋x2）＋x ＋2
＝－x 3 ＋6 x 2 ＋x －30
＝－x 3 ＋6 x2 ＋x －6－24
＝－y－24
故R∈S，由Q点的任意性，S关于点P中心对称．
总结：本题考查导数的几何意义．求切点时，要将取最小值的x值代回原方程．
 
例5、一质点的运动方程为s(t)＝asint+bcost(a>0)，若速度v(t)的最大值为，且对任意的t0∈R,在t＝t0与t＝ －t0时速度相同，求a、b的值。
解析：v(t)＝s(t)＝acost－bsint
∵v(t)的最大值为　∴a2+b2＝
又∵在t＝t0与t＝ －t0时速度相同
∴(a+b)(cost0－sint0)＝0且对任意的t0∈R且a>0
∴(a+b) ＝0，∴a＝,b＝－。

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。