不定积分
前面已经研究了已知一个函数求它的导数或微分的问题.但是，在科学技术领域和生产实践中往往还会遇到问题的另一方面，即已知一个函数的导数(或微分),求出这个函数.这种由函数的导数(或微分)求出原来函数的问题是积分学的一个基本问题——不定积分.本章介绍不定积分的概念、性质、基本公式和积分方法.
   
[教学内容]
    原函数与不定积分的概念，基本积分公式，不定积分性质．
    第一换元积分法，第二换元积分法．
    分部积分法，简单有理函数的积分．
    [目的要求]
 1. 了解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的性质，掌握不定积分基本公式．
2. 掌握不定积分两类换元积分法．
3. 掌握不定积分分部积分法，会求简单有理函数的积分．
    [重点难点]
    重点  不定积分概念，换元法，分部积分法．
    难点  换元积分法．
   [课时分配]
共10学时. 其中，不定积分概念及性质（2学时），换元积分法（4学时），分部积分法及简单有理式积分（2学时），习题课（２学时）．
    [教法建议及说明]
    1. 注意引导学生熟记基本积分表和积分类型，掌握不定积分与导数关系．
    2. 两类换元积分法中以第一类换元法（凑微分法）为重点，先通过简单的例子说明凑微分
法使用的基本过程及所求积分的被积函数的特征为复合函数，通过练习逐步概括出常见的一般类型．第二换元积法以三角代换为主，把握三种常见的三角代换求积分方法．
    3. 分部积分法以幂函数（多项式）与基本初等函数乘积的积分求解为重点．
    4. 积分法的教学要突出基本方法的掌握，练习中要举一反三，多作练习，但不宜要求过高的技巧，注重把握三种积分的特点．
 
第一节 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分
1.原函数的概念
定义4.1  在区间内，若可导函数的导函数为，即对任一，有或，
则称函数为在区间上的一个原函数．
例如,因为在（内有，所以是在（上的一个原函数；因为在（内有（C为常数），所以是在（上的原函数.
又如，因为在（内有，所以是在（上的一个原函数；因为，，（C为常数），所以，，是在（上的原函数.
显然，一个函数的原函数不是唯一的.由原函数的定义不难知道，如果是函数的原函数[即]，那么函数簇（为任意常数）中的任意一个函数都是函数的原函数，即[.于是，一个函数存在原函数，它的原函数必有无穷多个.但是，这里有两个问题要回答,一个是原函数的存在问题，即什么样的函数存在原函数呢？这个问题将在第五章回答．另一个问题是原函数的结构问题，即若是的一个原函数，则有无穷多个原函数.那么的无穷多个原函数是否均为的形式呢？换言之，除了形式之外是否还有其它形式的函数也是函数的原函数呢？下面的定理回答了这个问题.
定理4.1  如果函数是函数在区间上的一个原函数，则也是的原函数，且在该区间内的所有原函数都可以表示成的形式．（为任意常数）.
证  因为 ，所以是的原函数．
另设函数是的任一原函数，则有[,于是， 
从而= （为任意常数），即在该区间内的所有原函数都可以表示成的形式（为任意常数）．
这个定理说明，一个函数的无限多个原函数彼此只相差一个常数.如果欲求函数的所有原函数，只需求出函数的一个原函数，然后再加上任意常数即可得到函数的所有原函数.
2.不定积分的概念
定义4.2  设为在区间上的一个原函数，那么在区间上的所有原函数（为任意常数），称为在区间上的不定积分，记作.即
=.
其中符号称为积分号，称为被积函数， 称为被积表达式，称为积分变量，称为积分常数.
例如,；；．
根据定义4.2可知，求不定积分的关键问题就是求被积函数的一个原函数．
例1  求下列不定积分
（1）；  （2） ；  （3）；  （4） ．
    解   根据不定积分的定义，只要求出被积函数的一个原函数之后，再加上一个积分常数即可. 
    (1)  被积函数,因为,即是的一个原函数,所以                    ．
（２）因为  ,  所以  ．
（３）因为  ,  所以  ．
（４）因为  ,  所以  ．
例2  求不定积分.
解  被积函数=的定义域为 ≠0，
    　当＞0时 ， ； 而当＜0时，, 所以
=（常数不可忘记）.
二、不定积分的性质
性质  求原函数（或不定积分）与求导数是两种互逆的运算.即
[  或  ．
  或　．
也就是说，对一个函数先积分再微分，结果是两者的作用相互抵消；若先微分再积分，则结果只相差一个积分常数．
求已知函数的原函数（或不定积分）的方法称为积分法．
三、不定积分的几何意义
在直角坐标系中，的任意一个原函数的图形称为的一条积分曲线，其方程是.                                       
由上面的讨论知道：若有一条积分曲线
，则有无穷多条积分曲线，它们的方程
是 ．这些积分曲线称为曲线
的积分曲线簇(如图4-1 所示).
积分曲线簇中的任一条曲线都可以由
沿轴平移一段得到. 因此，所有积分曲线是彼
此平行的． 这就是说，在横坐标相同的点处，所
有积分曲线的切线是彼此平行的，其斜率都是，
即有
=．幂函数求导公式的证明
因此可以说，不定积分在几何上表示的积分曲线簇，这簇曲线的特点是在横坐标相同处，它们的切线有相同的斜率，因而是彼此平行的.
例3  已知曲线通过点，且在其上任一点处的切线斜率为，求曲线方程.
分析　所求曲线即为2的积分曲线簇中的一条,只要确定该条曲线的常数即可．
解  设曲线方程为，由于曲线上任一点处的切线斜率为，从而是2的一个原函数，故得
，  ．
因为曲线通过，所以，故所求曲线方程为.
  例4  一质点作直线运动，已知其速度，运动由开始，开始时的位移为.求位移和时间之间的关系式.
  　解  已知位移和速度之间的关系为．因此有
由条件，代入上式得，于是所求路程函数为．
备用练习题4-1
  组
验证1-4题各组函数是同一个函数的原函数.
1. ；（为常数）；（为常数）．

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