导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。
编辑本段导数（幂函数求导公式的证明derivative function）
定义
  设函数y=f(x)在点x0的某个邻域N(x0,δ)内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(设x0+△x∈N(x0,δ))，函数y=f(x)相应的增量为△y=f(x0+△x)-f(x0).
  如果当△x→0时，函数的增量△y与自变量的增量△x之比的极限lim △y/△x=lim [f(x0+△x)-f(x0)]/△x存在，则称这个极限值为f(x)在x0处的导数或变化率.通常可以记为f'(x0)或f'(x)|x=x0.
函数的可导性与导函数
  一般地，假设一元函数 y=f(x )在 点x0的某个邻域N(x0，δ)内有定义，当自变量取的增量Δx=x-
x0时，函数相应增量为 △y=f(x0+△x)-f(x0)，若函数增量△y与自变量增量△x之比当△x→0时的极限存在且有限，就说函数f(x)在x0点可导，并将这个极限称之为f在x0点的导数或变化率.
  “点动成线”：若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作 f(x)' 或y'，称之为f的导函数，简称为导数.
导数的几何意义
  函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0[x
 
导数的几何意义
0，f（x0）] 点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）.
导数在科学上的应用
  导数与物理，几何，代数关系密切.在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度，加速度.
  导数亦名纪数、微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念.又称变化率.
  如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米/小时.但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米/小时.为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为
  s=f（t）
  那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是
  [f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]
  当 t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0
到 t1这段时间内的运动变化情况 .
  自然就把当t1→t0时的极限lim[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度.这实际上是由平均速度类比到瞬时速度的过程 （如我们驾驶时的限“速” 指瞬时速度）.
编辑本段导数是微积分中的重要概念
  导数另一个定义：当x=x0时，f'(x0)是一个确定的数。这样，当x变化时，f'(x)便是x的一个函数，我们称他为f(x)的导函数（derivative function），简称导数）.
 
 
y=f(x)的导数有时也记作y'，即（如右图） ：
  物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表
示运动物体的瞬时速度和加速度（就匀速直线加速度运动为例 位移关于时间的一阶导数是瞬时速度 二阶导数是加速度）、可以表示曲线在一点的斜率（矢量速度的方向）、还可以表示经济学中的边际和弹性。
  以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。 为了研究更一般的流形上的向量丛截面（比如切向量场）的变化，导数的概念被推广为所谓的“联络”。 有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。
  注意：1.f'(x)<0是f(x)为减函数的充分不必要条件，不是充要条件。
  2.导数为零的点不一定是极值点。当函数为常值函数，没有增减性，即没有极值点。但导数为零。（导数为零的点称之为驻点，如果驻点两侧的导数的符号相反，则该点为极值点，否则为一般的驻点，如y=x^3中f‘(0)=0，x=0的左右导数符号为正，该点为一般驻点。）
编辑本段求导数的方法
  (1)利用定义求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：
  ① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
  ② 求平均变化率
 
③ 取极限，得导数。
  (2)几种常见函数的导数公式：
  ① C'=0(C为常数函数)
  ② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1/X的导数
  ③ (sinx)' = cosx
  (cosx)' = - sinx
  (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2
  -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2
  (secx)'=tanx·secx
  (cscx)'=-cotx·cscx
  (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2
  (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2
  (arctanx)'=1/(1+x^2)
  (arccotx)'=-1/(1+x^2)
  (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2)
  (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)
  ④(sinhx)'=coshx
  (coshx)'=sinhx
  (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2
  (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2
  (sechx)'=-tanhx·sechx
  (cschx)'=-cothx·cschx
  (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2
  (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2
  (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1)
  (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1)
  (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2)
  (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)
  ⑤ (e^x)' = e^x
  (a^x)' = a^xlna （ln为自然对数）
  (Inx)' = 1/x（ln为自然对数）
  (logax)' =x^(-1)logae(a>0且a不等于1)
  (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1)
  (1/x)'=-x^(-2)
  补充一下。上面的公式是不可以代常数进去的，只能代函数，新学导数的人往往忽略这一点，造成歧义，要多加注意。 关于三角求导“正正余负”（三角包含三角函数，也包含反三角函数 正指正弦、正切与正割 。）
  (3)导数的四则运算法则(和、差、积、商)：
  ①(u±v)'=u'±v'
  ②(uv)'=u'v+uv'
  ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2
  （4）复合函数的导数:
  复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。
  （5）积分号下的求导法
  d(∫f(x,t)dt φ(x),ψ(x))/dx=f(x,ψ(x))ψ'(x)-f(x,φ(x))φ'(x)+∫[f 'x(x,t)dt φ(x),ψ(x)]
  导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献！
  这里将列举五类基本初等函数的导数以及它们的推导过程（初等函数可由之运算来）：
 
基本导数公式
1.y=c(c为常数) y'=0
  2幂函数。y=x^n, y'=nx^(n-1)(n∈Q*) 熟记1/X的导数
  3.(1)y=a^x ,y'=a^xlna ；(2)熟记y=e^x y'=e^x唯一一个导函数为本身的函数
  4.(1)y=logaX, y'=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0) ；熟记y=lnx ,y'=1/x
  5.y=(sinx ）y'=cosx
  6.y=（cosx） y'=-sinx
  7.y=(tanx） y'=1/(cosx)^2

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