培养学生数学思维之“小”题大做
郭恒武
对于数学教师而言，一方面要培养学生具备较好的数学思维能力，另一方面要在高考中，让学生在有限的两个小时内高质量高水平地完成150分的试卷。对考试而言，我赞同“不要小题大做，要小题巧做”的观点。也正是为了考试中学生能够考出自己最高水平，获得满意分数。对于平时而言，我支持“小”题大做的观点，培养和提高学生的数学思维能力。本文根据自己的浅显认识，从习题的多解、变式以及知识结构建构两方面出发，谈一些简单的看法，希望能够抛砖引玉。
一、梳理知识，加强学生对知识的掌握和理解
通过梳理知识，不仅可以增强学生对新知识的理解，而且有利于学生对所学知识的融会贯通。在梳理知识的过程中，学生可以理清知识脉络，架构知识网络，以点带面，抓住知识点的本质，从而起到事半功倍的效果。本文以高中数学教材选修2-2第一章“导数及其应用”的前4节为例，做以下剖析。
（一）“小”题大做之知识点生成过程分析
高中数学教材选修2-2第一章“导数及其应用”的前4节的内容为：
知识点之间的衔接如同美丽的音符，只有衔接的恰到好处，才能谱出华美的乐章，深入人心。
1.1.1(变化率问题）节主要是从生活实例抽象出数学概念平均变化率，对其求极限得瞬时变化率即导数，从而引出导数的概念，自然地过渡到1.1.2(导数的概念)节。通过1.1.2节对导数的学习，我们当然好奇导数有何意义，这节知识点与以前学的知识有没有相似的地方，进而我们学习1.1.3(导数的几何意义)节。这节中，我们发现导数是一个极限状态值，它表示曲线上某点处切线的斜率，接着定义了曲线在某点处的切线，我们会想：这样定义的切线与以前在平面几何中的切线有何不同？通过举例，发现该切线可以与曲线有多于一个交点，甚至无数个交点。当曲线上的点变化时，由对应关系得到导函数。对于一个函数，我们希望知道它具有什么性质，导函数是我们接下来研究的目标，那常见函数的导函数怎么求呢？我们开启了1.2节的学习。
1.2.1(几个常见函数的导数)节分别从极限角度和图像角度再次理解导数的几何意义，自然地过渡到高中阶段学过的所有基本初等函数的导数，研究基本初等函数的导数公式及导数的运算法，即1.2.2（基本初等函数的导数公式及导数的运算法则）节。通过对这节内容的学习，我们同时也掌握了将基本初等函数用加、减、乘、除组合的这类函数的导数。那对于由基本初等函数组成的复合函数有没有求导公式？即，其中函数，是基本初等函数，那么等于什么。通过探究，发现 。那么，学习导数有什么用呢？这促使我们思考导数的概念，发现它的几何意义是“曲线在某点处切线的斜率”，斜率的正负代表直线的单调性，从而搭建了函数的单调性与导数的桥梁，这部分也是高考试题中关键性的内容。紧接着开启了1.3节的学习。
1.3.1（函数的单调性与导数）节，我们学习了函数的单调性与导数的联系，发现导数 是函数单调递增的一个条件。在数学中，我们当然期望它是一个充分必要条件（等价条件），但很遗憾这只是充分不必要条件。单调性是函数的局部性质，从局部看，单调性改变的位置是一个值得研究的特殊位置，我们称之为极值点，所以紧接着学习1.3.2（函数的极值与导数）节。从局部研究了一个函数的性质后，我们再从整体角度入手，进一步学习1.3.3（函数的最大(小)值与导数）节。函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，生活中经常涉及利润最大、用料最省、效率最高等问题，学习了用导数求解函数最值后，我们便可以用它来解决生活中的一些实际问题，即1.4（生活中的优化问题举例）节。通过1.4节的学习，学生们可以充分体会到数学是来源于生活，服务于生活的工具学科，同时能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。
（二）“小”题大做之典型例题分析
1.1.1节学习函数的平均变化率 ，要求理解概念，会求函数在某点附近的平均变化率。
例1：（形成训练）求 附近的平均变化率。
1.1.2节学习导数的概念 ，要求能够理解概念，体会极限的思想，会求函数在某点处的导数。
例2：（形成训练）求 处的导数。
1.1.3节学习导数的几何意义、曲线的切线、导函数，掌握导数的几何意义，会求曲线的切线方程及相关问题。
例3：（简单应用）求处的切线的斜率（倾斜角）。
例4：（灵活运用）已知函数 ，求过点A(1,1)的切线方程。
例5：（灵活运用）已知函数求过点B(1,0)的切线方程。
1.2.1节学习常用函数的导数，会推导常用函数的导数，归纳猜想幂函数的导数公式。
例6：（复习巩固）求函数的导数。结合图像，理解导数的几何意义
例7：（探究新知）结合几个常见幂函数的导数，归纳猜想函数的导数。
1.2.2节学习基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，鉴于高中学生的知识储备，这节的公式以验证为辅，记忆为主，灵活应用为目的，复合函数求导是难点。
例8：（简单应用）求函数的导数，(1) (2)
例9：（灵活运用）求函数的导数，(1) (2)
例10：（灵活运用）求函数的导数，(1) (2)
1.3.1节学习函数的单调性与导数，本章重点内容，掌握导数判断函数单调性的方法，画函数简图帮助解决综合类问题是难点。
例11：（基础落实）求函数 的单调区间，并画出函数的简图。
例12：（灵活运用）已知函数幂函数求导公式的证明 在R上是单调函数，求a的取值范围。
1.3.2节学习函数的极值与导数，理解极值的概念及取极值的条件，会求函数的极值，体会函数的局部性质，进一步培养数形结合解决问题的能力。
例13：（基础落实）求函数 的极值。
例14：（灵活运用）已知函数 在时有极值0，求a，b的值。
1.3.3节学习函数的最大（小）值与导数，区分函数的极值与最值，应用函数最值解决参数范围问题和生活中的优化问题。
例15：（基础落实）求函数 在[0,3]的最大值与最小值。
例16：（灵活运用）已知函数 ，恒成立，求a的取值范围。
例17：（灵活运用）证明不等式：
1.4节学习生活中的优化问题举例，主要是函数最值的应用。
二、一题多解，培养学生思维的灵活性
例（2014年全国卷1第11题）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是    （  ）
A.（2，+∞）  B.（1，+∞）  C.（-∞，-2）  D.（-∞，-1）
【答案C】分析：这是一个中等难度题，主要考查学生数形结合能力、转化与化归能力，考查知识点为导数与函数的零点，要求学生审清题意，挖掘出函数在定义域上存在唯一零点（等价说法“方程有且仅有一个实根”），而且是大于零的零点。若在考试中，学生完全不必用常规解法，因为这样会耗费大量的时间，而且准确性不高。根据题干和选项特点，本题可以采用排除法，对参数分别赋值-2、3，这样函数的解析式完全已知，从而降低试题难度，排除错误选项。
（一）“小”题大做之常规解法
本题若是作为填空题或者解答题出现，主要是应用数形结合思想来解决，这对学生由函数性质画简图的能力要求较高，所以平时应该加强培养学生由函数性质（奇偶性、单调性、周期性等）画函数简图的意识和能力。分析：当时，，则不是函数的零点；当时，令，解得参数则函数在上存在唯一零点问题等价于函数与函数图像有唯一交点问题。显然，函数是奇函数，对其求导，得，于是可知道函数在轴右侧的单调增区间为（0,1），减区间为（1，+∞），再结合奇偶性，可得到函数在定义域上的图像，如图1所示。根据图像，解得。
（二）“小”题大做之题意变式
1.若此问题改为“已知函数，若存在两个不同的零点，求的取值范围”。根据图1，解得。
类似地，我们还可以讨论当函数f(x)存在三个不同的零点时，的取值范围问题。
2.若此问题改为“已知函数，若在正实数集上存在唯一的零点，求的取值范围”。根据图1，解得。
类似地，我们不仅可以讨论在正实数集上存在两个不同的零点，求的取值范围问题，还可以讨论函数在负实数集上的情况，本文不再赘述。
结束语
通过对章节的基础例题以及习题变式的训练，相信学生对这儿的知识本身有了更加深刻的理解和清晰的认识，培养学生思考知识间的关系，活跃他们的数学思维，最终达到对知识融会贯通的运用，逐步建立高中数学知识体系，期望能够灵学活用。
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[2]雷玲．中学数学名师教学艺术[M]．华东师范大学出版社，2014.2.
[3]鲍果.重视“小题大做”训练数学思维[J].数学教学研究.2010.1.
[4]普通高中课程标准实验教科书-数学选修2-2 A版，人民教育出版社，2007.1.

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