目录
摘要 (1)
关键词 (1)
Abs t r ac t (1)
Key word s (1)
引言 (1)
1.1 无穷积分
a
dx
x
f)
(收敛时，x时，f x不趋于零的情形。 (2)
1.2 无穷积分
a
dx
x
f)
countifs函数为何总为零(收敛时，x时，f x趋于零的情形 (2)
1.2.1 函数一致连续时，对x时，f x趋于零的探讨 (2)
1.2.2 函数为单调函数时，对x时，f x趋于零的探讨 (5)
1.2.3 函数的导数的反常积分收敛时，对x时，f x趋于零的探讨 (5)
1.2.4 极限存在时的情形 (7)
1.2.5 函数导数有界时，对x时，f x趋于零的探讨 (8)
1.3 当x，f x趋于零与无穷积分收敛的关系 (9)
1.3.1 当x，f x趋于零时与2
a
f x dx敛散性的关系 (9)
1.3.2 当x，f x趋于零时与
a f x d x的敛散性与'
a
f x d x敛散性的关
系 (9)
1.4推广形式 (10)
总结 (10)
致谢 (11)
参考文献 (11)
无穷积分的收敛与被积函数极限为零的条件探讨
数学与应用数学李昆
指导老师王顶国
摘要：目的：讨论无穷积分
a
f x dx的被积函数f x当x→+∞时的极限情况.方法：利用函数f x在[a,+∞)上一致连续的一些性质和结论和一些新颖的实例.结果：给出了无穷积分
a f x dx的被积函数极限lim
x
f x=0的一些条件及其证明.结论：若无穷积分
a
f x dx收敛
时被积函数极限为零，必须附加一定的条件才能成立.
关键词：无穷积分收敛被积函数一致收敛极限
Discussion on the Limit Becoming Zero of Integrand When the
Infinite Integral converges
Student majoring in Mathematics and Applied Mathematics Li Kun
Tutor Wang Dingguo
Abstract：Objective:To discuss the limit case of integrand f(x) of infinite integral from n=a to (+∞)f (x) DX when x →+∞. Method : use the consistent continuous nature and conclusions and some novel instances of function f(x) on [a, + ∞).Results:Given some conditions and its proof when the limit of inte
grand f(x) of infinite integral from n=a to (+ ∞) f (x) DX is zero when x →+∞. Conclusion: the limit of integrand f(x) is zero when infinite integral from n=a to (+ ∞) f (x) DX is convergent when x →+∞must be attached to certain conditions.
Key words：infinite integral；convergence；integrand；uniformly continuous；limit.
引言定积分b
a
f x dx的积分区间是有界区间,a b，但是许多实际问题和理论问题
涉及到无限积分区间，因此，对无穷限反常积分的研究是具有实际意义的.在无穷限反常积分中，我们主要研究其敛散性的判别以及在收敛时所具有的性质。对于收敛时，其被积函数在无穷远处的极限是我们主要讨论的问题.即讨论
a
f x dx的收敛性与被积函数
f(x)在无穷远处极限的关系.我们知道，无穷限反常积分和数项级数两者之间有很多结
论是相似的.在数项级数里面，当数项级数收敛时，其通项是收敛于零的.那么在无穷限
反常积分里是不是也有相似的结论呢?首先我们看看无穷限反常积分在收敛时的几何意
义:
a
f
x dx
收敛时的几何意义：若f x 是[a ,+∞)上的非负连续函数，则
a
f
x dx
是介于曲线y f x
，
直线x
a
以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区
域的面积J.从而可知: a
f x dx
实际上是表示曲线y f x
与坐标轴所围成的面积
的代数和.而当
a
f
x dx
收敛时，是否f x 在无穷远处的极限一定为零，如果回答否
定，那么在哪些情况下，被积函数的极限是趋于零的，以及他们的关系又是什么样的.
1.1 无穷积分
a
dx
x f )(收敛时，
x
时，f x 不趋于零的情形
①若无穷积分
a
dx
x f )(收敛，则有当
x
时
0)
(x f 是否成立？反之，
是
否成立都是不一定的.例如，由狄利克雷判别法知dx
x a
2
sin 收敛，但2
sin lim x x 不存
在.
②若
a
dx
x f )(收敛，且f x ≥0，则当
x
时f x 不一定趋于0
例如：f x =
2
11
x
当x 属于整数时；f x =1当x 不属于整数时.
③f x =1-2n
|x
n
| 当x [n-12
n
,n+
12
n
]；f x =0 当x 为其它数时；
所以0
1
121
122
n
n f x dx
收敛，f
x
0，并且连续，但当
x
时，f x 不趋于
零.
④若将③中f x
0改为f x 大于0，当x 趋于正无穷时f x 仍可能不趋于
零，
例如：令f （x ）={
2
1x
，
g x
} 其中
g x
为③中的函数.
1.2 无穷积分
a
dx
x f )(收敛时，
x
时，f x 趋于零的情形
1.2.1 函数一致连续时，对
x
时，f x 趋于零的探讨
定义1：若定义在区间A （注意区间A 可以是闭区间，亦可以是开区间甚至是无穷区间）上的连续函数
f x
，
如果对于任意给定的正数
，存在一个只与
有
关与x 无关的实数ζ>0，使得对任意A 上的1
x ，2x 只要
1
x ，2x 满足|1
2
x x |<ζ，
就有|1
2
f x f x |，则称f x 在区间A 上是一致连续的。
定义2：f x 为[a ，+）上的连续函数，对任意的实数
b
，f x 在
,a b
上都可
积，若极限lim
b a
b
f x dx
存在，则称f x 在[a ，+）上可积，极限值称为f x
为
[a ，+）上无穷限反常积分，简称无穷积分。
引理1：若函数)
(x f 在,a 连续，且
b
x f x
)
(lim
，
则函数
)
(x f 在,a 上一致连续.
证明
已知
b
x f x
)
(lim
，即
，
a
M ，,
,
21M x x ，有
)
()
(21x f x f . 已知
)
(x f 在]
1,[M
a 上连续，根据一致连续性定理
，则
)
(x f 在1
,
M
a 一致连续，即
,
:1,,,
10
0,
02
12
1x x M a x x 有
)
()
(21x f x f .
于是
,,
,2
121x x a x x 且都有
)
()
(21x f x f .
故函数
)
(x f 在,a 上一致连续.
引理2：若函数
)
(x f 在区间
I
满足李普希茨条件，即
I
y x,，有
y
x
k y f x f )
()
(，其中是常数，
则
)
(x f 在I 上一致连续.
证明
,
0,,I y
x 解不等式
,
)()(y x k y f x f 得
,
k y
x 取
,
0k
于是
,,0k
取
则
,,y
x I y x 及有
.
)
()
(y f x f 故函数
)
(x f 在I 上一致连续.
引理3：若函数)
(x f 在,a 上可导，且
,
a x 有
,)
(M x f ’
其中M 为常数，
则
)
(x f 在,a 上一致连续.
证明因为,
a 在
)
(x f 上可导，对
,
,21a x x ，
则)
(x f 在21,x x 上连续，在21,x x 内可导，
所以
,
,),
()()
(21'
2
1
21x x f x x x f x f 从而
1
221)(')
()
(x x f x f x f 1
2
x x M .
由引理2知
)
(x f 在,a 上一致连续.
定理1：若f x 在[a ，+）上一致连续，且
a
f x dx
收敛，则lim 0
x f x
证明已知
)
(x f 在,
a 上一致连续，则
,0（不妨设），对
,
,"
'
a x
x ，当
"
'
x
x
时，有
2
)
()
("
'
x f x f .
又因为
dx
x f a
)(收敛，故对上述的
，
,0M
当M
x
x "
'
，时有
,
2
)(2
"
'
x x
dt
t f 对
,,,
"'x x M x
使M
x
x x
'
"
且
'
"
x
x
，于是有

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