函数的零点问题
(1)函数的零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数的零点与方程的根的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·countifs函数为何总为零f(b)＜0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
零点区间的判断题型结构特征：判别零点区间
1.函数f（x）=ex + x - 2 的零点所在的一个区间是（    ）
A.（-2,-1）  B. （-1,0）    C.（0,1）    D.（1,2）
【答案】C
2.若，则函数两个零点分别位于区间
A.和内        B.和内
C.和内      D.和内
【答案】A
零点个数的判断题型结构特征：判别零点在区间上的个数问题
3.函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(  )
A．0          B．1          C．2          D．3
【答案】B
4.函数的零点个数为(    )
A. 1      B. 2      C.3        D.4
【答案】A
5.已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是(  )
A．4      B．3      C．2      D．1
【答案】B
6.已知函数f(x)是R上的偶函数，且满足f(5＋x)＝f(5－x)，在[0，5]上有且只有f(1)＝0，则f(x)在[－2 015，2 015]上的零点个数为(  )
A．808      B．806      C．805      D．804
【答案】C
零点存在性确定的参数范围问题题型结构特征：已知零点的个数存在性确定参数范围
7.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(  )
A．(1，3)  B．(1，2)  C．(0，3)  D．(0，2)
【答案】C
8.[2015湖南文14]若函数f（x）=| 2x-2 | - b有两个零点，则实数b的取值范围是___
【答案】0<b<2
9.已知函数f(x)＝有三个不同的零点，则实数a的取值范围是____
【答案】
10已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有三个零点，则实数k的取值范围是（    ）
A. B．    C．    D.
【答案】C
11.已知函数f(x)＝其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，求m的取值范围．
解析：作出f(x)的图象如图所示．当x＞m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则4m－m2＜m，即m2－3m＞0.又m＞0，解得m＞3.
12.已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（    ）
A．[–1，0）      B．[0，+∞）  C．[–1，+∞）  D．[1，+∞）
【答案】：C
解答：∵存在个零点，即与有两个交点，的图象如下：
要使得与有两个交点，则有即，∴选C.
零点分布问题题型结构特征：根据零点的分布区域进行零点相关运算或不等关系的判断
13.已知定义域为R的函数.若关于的方程有三个不同的实根，求的值为（    ）
A. 10        B .12          C. 14          D.16
【答案】C
二次函数零点区间讨论法题型结构特征：已知二次函数的零点存在区间求参数范围
14已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围
【答案】a>1或
15已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围；
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的取值范围
【答案】（1）（）（2）
16已知函数,函数,则函数的零点的个数为
A. 2            B. 3            C.4          D.5
【答案】A
17.　已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．
解析：法一：设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1＜x2)，则(x1－1)(x2－1)＜0，∴x1x2－(x1＋x2)＋1＜0，由根与系数的关系，
得(a－2)＋(a2－1)＋1＜0，
即a2＋a－2＜0，
∴－2＜a＜1.
18已知二次函数f(x)＝x2＋2bx＋c(b，c∈R)满足f(1)＝0，且关于x的方程f(x)＋x＋b＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内，则实数b的取值范围为____
【答案】
19.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)－c＜0的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为____
【答案】9
20.已知二次函数f(x)＝x2－ax＋3 - a的两零点均为正数的实数，则实数a的取值范围是_____
【答案】2<a<3
21.已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(  )
A．[－1,3)    B．[－3，－1]
C．[－3,3)    D．[－1,1)
【答案】A
22.已知函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f(x)＝，若关于x的方程5[f(x)]2－(5a＋6)f(x)＋6a＝0(a∈R)有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是(  )
A．(0,1)∪    B．[0,1]∪
C．(0,1]∪      D.∪{0}
解析：作出f(x)＝的大致图象如图所示，又函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，且关于x的方程5[f(x)]2－(5a＋6)f(x)＋6a＝0(a∈R)有且仅有6个不同的实数根，等价于f(x)＝和f(x)＝a(a∈R)有且仅有6个不同的实数根．由图可知方程f(x)＝有4个不同的实数根，所以必须且只需方程f(x)＝a(a∈R)有且仅有2个不同的实数根，由图可知0<a≤1或a＝.故选C.
【答案】：C
23.在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．
解析：若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则方程2a＝|x－a|－1只有一解，即方程|x－a|＝2a＋1只有一解，故2a＋1＝0，所以a＝－.
【答案】：－
24.函数f(x)＝|x－1|＋2cos πx(－4≤x≤6)的所有零点之和为________．

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