三角函数公式大全及推导过程
一、任意角的三角函数
在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，
正弦：r y
=αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 余切：y
x =
αcot 正割：x
r =
αsec 余割：y
r =
αcsc 二、同角三角函数的基本关系式
平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα商数关系：αααcos sin tan =
，αααsin cos cot =，αααsin tan sec =，α
α
αtan sec csc =以上公式，均可由定义直接证明。六角形记忆法：
构造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中间1”的正六边形为模型。（1）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和
等于下面顶点上的三角函数值的平方。
（2）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；
（3）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上
函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。
三、诱导公式
公式一：
（同终边的角）
设α为任意角，终边相同的角的同一类三角函数的值相等：
α
απsin )2k sin(=+α
απcos )cos(2k =+α
απtan )tan(2k =+公式二：（x 轴对称角）
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
α
α-sin )-sin(=α
αcos )cos(-=α
α-tan )tan(-=公式三：（中心对称角）
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
α
απ-sin )sin(=+α
απ-cos )cos(=+α
απtan )tan(=+公式四：（y 轴对称角）
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
α
απsin )-sin(=α
απ-cos )-cos(=α
απ-tan )-tan(=公式五：（同x 轴对称角）
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
α
απsin )-2k sin(=α
απcos )-cos(2k =α
απ-tan )-tan(2k =公式六：（垂直关系角或y=x 对称或y=-x 对称角）
2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系：ααπcos )2sin(=+ααπ-sin )2cos(=+α
απ-cot )2tan(=+ααπcos )-2sin(=ααπsin )-2cos(=α
απcot )-2tan(=ααπcos -)23sin(=+ααπsin )23cos(=+α
απ-cot )23tan(=+ααπcos -)-23sin(=ααπ-sin )-23cos(=α
απcot )-23tan(=※规律总结※
上面这些诱导公式可以概括为：
对于Z)k (2
k ∈±∙
απ
的个三角函数值，
①当k 是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k 是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin →cos ；cos →sin ；tan →cot ；cot →tan.
（奇变偶不变）
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）各种三角函数在四个象限的符号如何判断，
可以记住口诀“一全正；二正弦；三正切；四余弦”．
四、两角和差公式
βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+β
αβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=
+，
β
αβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=
-——)cos(βα-（利用两点距离公式推导），然后利用诱导公式推导)cos(βα+，利用平方关系式可推导)sin(βα+，再利用诱导公式推导)sin(βα-.
)tan(βα+的推导如下：
β
αβαβαβαβαβ
αβ
αβαβ
αβαβ
αβαβαβαβαtan tan 1tan tan cos cos sin sin cos cos cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos sin )-(sin )(sin )tan(⋅-+=
⋅⋅-⋅⋅⋅+⋅=⋅-⋅⋅+⋅=
+=
+亦可利用下图推导)cos(βα+或)
sin(βα+证明正弦、余弦的和差角公式
α
ααcos sin 22sin =——由)sin(αα+推导出α
2sin ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=……)
(*——由)(cos αα+推导出，再结合平方关系.
α
αα2tan 1tan 22tan -=
二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）
αα2cos 22cos 1=+αα2sin 22cos 1=-2
)cos (sin 2sin 1ααα+=+2
)cos (sin 2sin 1ααα-=-六、辅助角公式：
)
sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a （其中a
b
=
ϕtan ）其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，(以上Z k ∈)
.b
tan sin cos )
sin(cos sin sin cos cos sin cos sin 2
22
2222
22
2
2
2
2
2a
b a b b a a x b a x x b a x b
a b x b
a a
b a x b x a =
+=
+=
++=++=++
++=+ϕϕϕϕϕϕ，即其中，）（）
（
七、万能公式：
ααα2tan 12tan sin2+=，ααα22tan 1tan -1cos2+=，
α
α
α2tan -12tan tan2=运用两角和公式与平方关系式可推导.
α
α
ααααααααααααα2222222tan 12tan /cos sin cos cos /cos 2sin sin cos cos 2sin cos 2sin sin2+=
+=+==）（）（（常用平方关系式：1cos sin 22=+αα）
α
α
ααααααααααααα222
2222222222
2
tan 1tan -1/cos sin cos cos /sin -cos sin cos sin -cos sin -cos cos2+=+=+==）（）（α
α
α
ααα
ααα2222tan -12tan tan 1tan -1tan 12tan cos2sin2tan2=
++==
1、
αααααααααααααααα
αααααα
αα3323223sin 4sin 3sin 2sin )sin 1(sin 2sin 2sin cos sin 2sin )sin 21(cos cos sin 2sin 2cos cos 2sin )2(sin sin 4sin 3sin3-=-+-=-+=-+=+=+=-=2、
α
ααααααααααααααα
αααααα
ααcos 3cos 4cos 2cos 2cos cos 2cos )cos 1(2cos )1cos 2(sin cos sin 2cos )1cos 2(sin 2sin cos 2cos )2(cos cos 33cos 4cos3333222-=+--=---=--=-=+=-=3、
α
ααα
ααα
ααααααααα
α
αααα
ααααααα23222322223223tan -1tan -3tan tan -13tan -1tan -1tan -3tan tan -12tan -tan -1tan -1tan -tan 2tan tan tan -12tan -1tan tan -12tan tan tan2-1tan tan2)2(tan tan3=
=+=⋅+=
⋅+=+=或
α
αααααααα
ααααααααααααα
αααα
αααααα233233322233223tan -1tan -3tan cos cos 3sin cos cos sin cos sin 3cos sin 2-cos sin cos sin sin cos cos sin 2sin 2sin cos 2cos sin 2cos cos 2sin 3cos sin3tan3=
--=⋅--+=-+=
=
九、积化和差公式
由β三角函数诱导公式推导
αβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+β
αβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-两式相加，得β
αβαβαcos sin 2)sin()sin(⋅=-++所以,）
（)sin()sin(21
cos sin βαβαβα-++=⋅两式相减，得）
（)sin(-)sin(2
1
sin cos βαβαβα-+=⋅由βαβαβαsin sin cos cos )(cos ⋅-⋅=+，βαβαβαsin sin cos cos )(cos ⋅+⋅=-两式相加，得β
αβαβαcos os 2)cos()(cos ⋅=-++c 所以,）
（)cos()(cos 21
cos os βαβαβα-++=⋅c 两式相减，得）
（)(os -)cos(2
1
-sin sin βαβαβα-+=⋅c

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