三角函数的诱导公式
【教学背景分析】
1．教材的地位和作用
本节教学内容是4组三角函数诱导公式的推导过程及其简单应用。承上，有任意角三角函数正弦、余弦和正切的比值定义、三角函数线、同角三角函数关系等；启下，学生将学习利用诱导公式进行任意角三角函数的求值化简，以及三角函数的图象与性质（包括三角函数的周期性）等内容。同时，学生在初中就接触过对称等知识，对几何图形的对称等知识相当熟悉。这些构成了学生的知识基础。诱导公式的作用主要在于把任意角的三角函数化归成锐角的三角函数，体现了把一般化特殊、复杂化简单、未知化已知的数学思想。
2．目标定位
诱导公式可以帮助我们把任意角的三角函数化为锐角三角函数，但是随着计算器的普及，上述意义不是很大。我们认为，诱导公式的教学价值主要体现在以下几个方面：第一，感受探索发现，通过几何对称这个研究工具，去探索发现任意角三角函数间的数量关系式，即三角函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性质）的代数解析表示。第二，学会初步应用，能够选用恰当的诱导公式将任意角的三角函数转
化为锐角三角函数问题并求解。第三，领悟思想方法，在诱导公式的学习过程中领悟化归、数形结合等思想方法。第四，积累数学经验，为学生认识任意角三角函数既是一个起源于圆周运动的周期函数又是研究现实世界中周期变化现象的“最有表现力的函数”做好准备。
为此，我们制定了本节的教学目标（详见教案），以及本节课的教学重、难点。
【教学设计分析】
在进行本课教学设计时，有以下两条典型教学路线可供选择：（1）两个角的终边有哪些特殊的对称关系？（2）怎样把非第一象限的角转化为第一象限的角？我们最终选择了第一条路线，主要基于以下两点考虑。尊重教材的编写方式。从对教材的分析来看，教材将三角函数作为一种数学模型来定位，力图在单位圆中借助对称性来考察对应点的坐标关系，从而统整各组诱导公式。教材的编写处理体现了教材专家的集体智慧和版本教材的一贯特，教师应该努力体会和把握，不宜轻率抛开教材另搞一套。切合学生的认知水平。利用学生熟悉的圆及其对称性研究三角函数的相关性质，符合学生的认知心理。同时，单位圆及其对称性的表象对学生推导诱导公式、理解公式之间的内在联系、形象记忆三角函数诱导公式都将起到事半功倍的效果。
【教学过程分析】
基于以上分析，我们确定了如下的本节课教学路线图：
角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系围绕这个教学路线（当然也是学生的研究路线），我将教学分成6个环节并设计成问题串的形式，通过这些问题解构教材，让学生学习数学知识，培养数学能力，体会数学思想，积累数学经验。
【教学安排】
1．问题提出
如何将任意角三角函数求值问题转化为0°~360°角三角函数求值问题。求390°的正弦、余弦值。
2．设计意图
前面的学习中，已经将角的概念从锐角扩充到了任意角，学习了任意角三角函数的定义，接下来自然地会提出任意角的三角函数值怎么去求。于是，先安排求特殊值再过渡到一般情形比较符合学生的身心特点和认知规律，意在培养学生从特殊到一般归纳问题和抽象问题的能力，引导学生在求三角函数值时抓坐标、抓角终边之间的关系。同时，首先考虑α+2k π（k∈Z）与α的三角函数值之间的关系，有助于学生理解三角函数被看成刻画现实世界中周期性变化的数学模型的确切含义。
3．尝试推导
【教学安排】如何利用对称推导出角π-α与角α的三角函数之间的关系。
1．问题提出
你能出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？
2．设计意图
对问题2的提问方式的设计主要是考虑到我们在研究问题的时候常常会研究它的逆命题、否命题、等价命题等。事实上问题2可以看成是“若两个角的终边相同，则它们的正弦值相同”的逆命题，即“若两个角的正弦值相同，则两个角的终边相同”。但这里是以问题的形式提出的，实际上教会了学生一种自己研究问题的方法。
在得出角π-α与角α的三角函数之间的关系后，提出：
3．思考请大家回顾一下，刚才我们是如何获得这组公式(公式二)的？设计意图阶段小结，让学生将对称作为研究三角函数问题的一种方法使用。将上述研究过程进行梳理，得出“角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系”的研究路线图。
4．自主探究
【教学安排】如何利用对称推导出π+ α，- α与α的三角函数值之间的关系。
1．问题提出
两个角的终边关于x 轴对称，你有什么结论？两个角的终边关于原点对称呢？
2．设计意图
从两个角的终边关于y 轴对称的情况进行自然过渡，给学生留下了自主探究的空间，让他们再次经历公式的研究过程，从而得出公式三和四，并将问题2研究方法一般化。
3．简单应用
【教学安排】例题的练习、讲解。
1．求下列各三角函数值：
（1） sin π；（2） cos(-60°)；（3）tan(-855︒)。76
2．初步熟悉诱导公式的使用，让学生感悟在解决问题的过程中，如何合理的使用这几组公式。此外，引导学生注意同一个三角函数的求值问题可以采用不同的诱导公式，启发学生这些公式的内在关系和联系，体会数学方法的多样性。
3．回顾反思
【教学安排】开放式小结。
1．回顾一下，我们是怎样获得诱导公式的？研究的过程中，你有哪些体会？
2．开放式小结，使得不同的学生有不同的学习体验和收获。这些问题的提出，侧重于诱导公式推导方法的回顾和反思，侧重于个体情感体验的分享和表达，从而区别于侧重于公式规律的总结和记忆。
3．分层作业
【教学安排】作业布置。
作业
1．阅读课本，体会三角函数诱导公式推导过程中的思想方法。
2．必做题：课本第23页第13题。
3．选做题：
4．你能由公式二、三、四中的任意两组公式推导到另外一组公式吗？
5．角α和角β的终边还有哪些特殊的位置关系？你能探究出它们的三角函数值之间的关系吗？
6．分层作业有利于不同层次的学生巩固知识，提升思维能力。阅读课本旨在引导学生教科书是学习的根本，阅读课本有利于培养学生良好的回归课本的学习习惯。而出现选做题目，目的是提供多元化和挑战性选择，促使学有余力的学生课后思考和自主探究几组公式之
间的内在联系。
【教后思考分析】
1．关于设计定位的反思
就三角函数的诱导公式来说，教学设计定位时一般会出现以下几种倾向：其一，定位于知识的学习，学生知道存在一些公式，可以将任意角的三角函数进行一些转化。其二，定位于公式的学习，学生努力分析和总结各组公式的形式规律，背诵“函数名不变，符号看象限”等口诀，追求灵活运用等解题能力的提高。公式理解强过公式记忆。关于公式规律的总结和口诀的记忆，当然很重要，但这不是第一节课的内容。我们可以在所有诱导公式都学习过后，再来总结不迟。此外，采用本课的利用对称性的方法来学习诱导公式，可以通过图形的对称性来形象记忆，可以减轻学生记忆负担，规避死记硬背现象的发生。其三，聚焦诱导公式的推导过程，强调对公式产生的过程的深入理解。其四，在关注知识学习的同时，渗
透数学思想方法的理解和领悟。本课主要涉及数形结合、从一般到特殊或从特殊到一般、模型思想、化归思想、追求简易等数学思想方法。我们认为新授知识是很重要的，而数学思想方法是蕴含其中的，应该潜移默化地渗透，不能贴标签，更不能因为数学思想方法的重要而喧宾夺主地过渡渲染。
三角函数诱导公式推导
2．关于教学难点的突破
（1）本节课的难点在于从问题2出发，发现关于y轴对称的三角函数诱导公式，从而总结出研究线路图。从对教材的分析来看，苏教版教材将三角函数作为一种数学模型来定位，力图在单位圆中借助对称性来考察对应点的坐标关系，这样处理的好处是简化了任意角的象限分类和化归，起到了利用直观的对称这个工具和研究手法去研究诱导公式的变化规律的目的，揭示了代数和几何的有机结合和统一。
（2）α任意性循环上升。在这节课中，角 的任意性是一个教学难点，为此我们设置了三个点：（1）问题2中非30°不可吗？任意角α行不行？（2）几何画板拖动演示感受角α的任意性。（3）习题中进一步深化学生认识。随着学生学习的深入，对这个问题还会有进一步的认识。事实上，有许多同学在一开始是将角α当成锐角去处理的，但我在教学中不过分强调角α的任意性，因为对待数学知识的教学不能一步到位，不应毕其功于一役，而应循环上升，力求顺其自然，水到渠成。
3．关于问题串的设置调控
在本节课中，我们将教学设计成以一以贯之的问题串形式，通过这些问题串起相互关联的数学问题，使学生学习知识，形成能力，发展认知。我们在设计过程中，尽量将问题的难易程度定位在学生的最近发展区内，问题的设计从思维的角度来说具有一定的开放性，使得
学生可以从不同的角度来思考；问题的设计从解决的难度来说具有一定的层次性，使得不同的学生尽量愿意提出自己的见解。教师通过问题串的这个脚手架便于组织教学，并和学生形成互动，促进学生在学习知识的同时形成网状知识联结。实践证明，问题串的使用让教学组织有章可循，内容推进自然而不造作，完整而不破碎。
4．关于教学评价分析
我们觉得本次的教学设计和学生认知水平基本吻合，学生的参与程度较高。如果学生的基础薄弱一些，我们会做些调整，把问题的指向性更明确一些，基础性的练习增加一些。
此外，在教学过程中，我们始终关注学生主体的发展。在教学中，多次通过“你是怎么想的？”“你同意他的意见吗？为什么？”等问话形式，暴露学生的思维，注意挖掘结果产生背后的思维过程，积极引导学生参与到教学过程中来，始终把培养学生的能力和数学思维发展放在首位。
我们认为，数学教学的最终目的在于学习主体的数学发展——数学知识的获取、数学能力的提高、数学
思维的养成、数学文化的熏陶。通过学习共同体的创造性的教与学，学生一定会到达善于思考、善于创造的理性精神的彼岸。

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