赋能八爪模型 助教诱导公式
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来源：《数学教学通讯·高中版》2020年第04期
[摘 要] 应用八爪模型进行任意角三角函数值化简可以实现化简的一步到位，从而大大提升了三角函数值化简能力和加深了学生对诱导公式体系的理解，其在教材的整合、数学建模核心素养的提升、数形结合思想方法的渗透等方面均有重要意义. 文章详细解读了何为三角函数诱导公式的八爪模型.
[关键词] 八爪模型;诱导公式;数学建模;数形结合思想
问题的提出
诱导公式的应用是三角函数的难点，学生在利用诱导公式进行化异名为同名三角函数时常常思维混乱;在需要多组诱导公式进行任意角三角函数值化简时常常手足无措. 原因就在于对《人教A版必修四1.3三角函数诱导公式》（以下简称《必修四1.3》）中六组诱导公式之间的内在关系不清晰，用死记硬背方式学习. 为了帮助学生更好地理解诱导公式体系的内涵及应用诱导公式进行任意角三角函数值化简，笔者通过构建八爪模型，收到了良好的效果.
模型解读
八爪模型要点如下：
（1）任意一个角都能与某个爪子对应
①建立给各坐标轴赋角的（如图1所示）带有八个爪子的直角坐标系.
②规定：按顺时针方向旋转爪子对应的角在坐标轴所对应角的基础上减少α;按逆时针方
向旋转爪子对应的角在坐标轴所对应角的基础上增加α，以y轴正半轴的爪子为例，爪子（2）对应的角度为2kπ+■-α，爪子（3）对应的角度为2kπ+■+α.
（2）利用口诀“纵（轴）变横（轴）不变、符号看象限”进行任意角的三角函数值化简. 具体如下：
例1：（《必修四1.3P27例4》）化简■.
解：在八爪模型下，2π-α，π+α，π-α，3π-α，-π-α分别对应爪子（8）、（5）、（4）、（4）、（4），根据口诀前半句“纵（轴）变横（轴）不变”，函数名不变，2π-α，π+α，π-α，3π-α，-π-α分别落在第四象限、第三象限、第二象限、第二象限、第二象限，其对应的三角函数符号分别为负、负、负、正、正，即sin（2π-α）=-sinα，cos（π+α）=-cosα，cos（π-α）=-cosα，sin（3π-α）=sinα，sin（-π-α）=sinα;■+α，■π-α，■π+α分别对应爪子（3）、（6）、（3），根据口诀前半句“纵（轴）变横（轴）不变，函数名改变，■+α，■π-α，■π+α分别落在第二象限、第三象限、第二象限，其对应的三角函数符号分别为负、负、正，即cos■+α=-sinα，cos■π-α= -sinα，sin■π+α=cosα. 从而：
■=■=-tanα.
■模型价值
应用八爪模型进行任意角三角函数值化简可以实现化简的一步到位，从而大大提升了三角函数值化简能力和加深了学生对诱导公式体系的理解，其在教材的整合、数学建模核心素养的提升、数形结合思想方法的渗透等方面均有重要意义.
1. 整合了教材
一方面，八个爪子囊括了《必修四1.3》六组诱导公式所对应的角（见表1），在口诀“纵（轴）变横（轴）不变、符号看象限”下可以快速得到《必修四1.3》六组诱导公式，保證了八爪模型的准确性;另一方面，把《必修四1.3》P26例3纳入八爪模型中，实现了爪子分布的完整性，这种完整性有助于学生全面理解诱导公式体系，可以大大提高学生在任意角三角函数值化为锐角三角函数值的准确性.
例2：已知角α终边上的一点P（-4，3），则sin-■-α=______.
解法1：利用教材诱导公式（三）和（六）得到：
sin-■-α=-sinα+■=-cosα= -■=■.
解法2：在八爪模型下，-■-α对应y轴负半轴顺时针方向的爪子（6），利用口诀可得sin-■-α=-cosα= -■=■.
应用八爪模型进行任意角三角函数值转化为锐角三角函数值的最大价值就在于有效规避了需要多组公式化简而实现化简的一步到位，从而大大提升了任意角三角函数值的化简能力.从思维角度来看，高中数学课堂教学中同时存在着“浓缩在教材中的数学家思维、对教材进行再加工的教师思维、被教材和教师引导着的学生思维”等三种思维活动，数学教学就是这三种思维相互碰撞和交融的过程. 教师对教材的整合，目的就在于让数学家思维更为自然地与学生思维对接，这对发展学生的思维和提升学生的能力有重要意义，对教师从“教教材”到“用教材教”的转变有积极影响.
2. 提升了数学建模核心素养
>三角函数诱导公式推导
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