∵F ′()x =m +1-
1x
，∴F ′æèçöø
÷x 1+x 22=m +1-2x 1+x 2=ln x 1-ln x 2x 1-x 2-2
x 1+x 2，
∴F ′æèçöø
÷x 1+x 22>0等价于
ln x 1-ln x 2x 1-x 2-2x 1+x 2>0，∵0<x 1<x 2，∴ln x 1-ln x 2<2()
x 1-x 2x 1+x 2
，
即证明ln x 1x 2<2æèçöø
÷x 1
x 2-1x 1
x 2
+1，
设t =x 1x 2,t ∈()0,1，可得ln t <2()t -1t +1
，
设g ()t =ln t -
2()
t -1t +1
,0<t <1，∴g ′()t =1t -4()t +12=()t -12
t ()t +12
>0
，
∴g ()t 在()0,1上单调递增，g ()t max <g ()1=ln 1-2×()
1-11+1
=0，
即不等式ln t <
2()t -1t +1成立，∴F 'æèçöø
÷x 1+x 22>0
.
本题的目标不等式中含有x 1、x 2，要证明目标不等式恒成立较为困难，于是引入变量t ，将其替换x 1
x 2
，便构造出函数g ()t =ln t -2()
t -1t +1
，再借助导数知识求得g ()t max ，并使其小于0，就能证明目标不等式成立.
可见，对于较为复杂的不等式恒成立问题，运用构造函数法求解非常有效，同学们可根据解题需求和目
标不等式的结构特点，通过移项、放缩、换元，将目标不等式进行变形，构造出合适的函数模型，就能运用导数法来解题.
（作者单位：贵州省遵义市第一中学）三角函数中的基本公式共有数十个，其关系错综复杂，很多同学难以理清其关系，只能靠机械记忆，来熟悉、掌握这些公式.对此，笔者尝试用Euler 公式的极简形式：
e iα=cos α+i sin α()其中i 2=-1及同角的三角函数关系式cos 2α+sin 2α=1推导出三角函数的基本公式，以便帮助大家从一个新的角度理解并掌握三角函数的基本公式.
若x 为实数，则函数e x 的Maclaurin 级数展开式为:e x =1+x 1!+x 2
2!+⋯+x n
n !
+⋯，
则e iα=1+
()iα1!
+
()
iα2
2!+
()
iα3
3!
+⋯+
()
iαn
n !
+⋯
=1+iα1!-α22!-iα33!+α4
4!
+⋯
=æèçöø÷1-α2
2!+α44!-⋯+i æèçöø
÷
α1!-α33!+α5
5!-⋯我们知道，cos α的Maclaurin 级数展开式为
1-α22!+α44!
-⋯=cos α，sin α的Maclaurin 级数展开式为α1!-α33!+α5
5!
-⋯=sin α.所以e iα=cos α+i sin α，
这就是著名的Euler 公式.
在Euler 公式中，若α=π，则e i π=-1，其中e 和π
为超越数，i 为虚数单位，这个公式将数学中最重要的
四个常数，以极其简洁的方式联系在一起.
下面用Euler 公式来推导与证明三角函数中的一些基本公式.
1.两角和公式：
cos ()α+β=cos αcos β-sin αsin β；（1）sin ()α+β=sin αcos β+cos αsin β；
（2）tan ()α+β=
tan α+tan β
1-tan αtan β
.
（3）证明：由Euler 公式得e iα=cos α+i sin α，（4）e iβ
=cos β+i sin β，
（5）
由（4）、（5）两式相乘得：
e iα∙e iβ
=()cos α+i sin α()cos β+i sin β，
即e
i ()
α+β=()cos αcos β-sin αsin β+i (sin αcos β+
cos αsin β)，
（6）
胡长好
51
研研
究究
又由Euler公式得：e i()
α+β=cos()α+β+i sin(α+
β)，（7）
比较（6）、（7）两式即可得（1）、（2）两式，再由
tanα=sinαcosα可得（3）式.
2.两角差公式：cos()α-β=cosαcosβ+sinαsinβ；
（8）
sin()α-β=sinαcosβ-cosαsinβ；（9）
tan()α-β=tanα-tanβ
1+tanαtanβ.（10）
证明：由（4）、（5）两式相除得：
e iα
e iβ
=cosα+i sinα
cosβ+i sinβ=()
cosα+i sinα()
cosβ-i sinβ
()
cosβ+i sinβ()
cosβ-i sinβ
=()
cosαcosβ+sinαsinβ+i()
sinαcosβ-cosαsinβ
cos2β+sin2β
=()
cosαcosβ+sinαsinβ+i()
sinαcosβ-cosαsinβ
即：e i()
α-β=()
cosαcosβ+sinαsinβ+i(sinαcosβ-
cosαsinβ)，（11）
又由Euler公式得：e i()
α-β=cos()α-β+i sin(α-β)，
（12）
比较（11）、（12）两式即可得（8）、（9）两式，再由
tanα=sinαcosα可得（10）式.
3.二倍角公式：cos2α=cos2α-sin2α；（13）
sin2α=2sinαcosα；（14）
证明：将Euler公式两边平方得：()e iα2=(cosα+
i sinα)2，
即：e i()2α=()
cos2α-sin2α+2i sinαcosα，（15）
又由Euler公式得:e i()2α=cos2α+i sin2α，（16）
比较（15）、（16）两式即可得（13）、（14）两式.
二倍角公式（13）、（14）也可由（1）、（2）两式得到，
分别取β=α即可.
4.万能公式：cos2α=1-tan2α
1+tan2α；（17）
sin2α=2tanα
1+tan2α；（18）
tan2α=2tanα
1-tan2α.（19）
证明：由cos2α+sin2α=1可得cos2α+sin2α
cos2α=
1
cos2α，
即1+tan2α=1cos2α，
化简得cos2α=11+tan2α.（20）
又由（13）式及tanα=sinαcosα得：
cos2α=cos2α-sin2α=cos2α-sin2α
cos2αcos2α
=()
1-tan2αcos2α=1-tan2α
1+tan2α，
而由（14）式及tanα=sinαcosα，
得sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα
cosαcosα
=2tanαcos2α=2tanα
1+tan2α.
最后再由tanα=sinαcosα即可得（19）式.
由万能公式可以看出，只要知道了tanα的值，便
可由此求出其他三角函数的值，所以称之为“万能公式”.
5.三倍角公式：cos3α=4cos3α-3cosα，（21）
sin3α=3sinα-4sin3α，（22）
证明：将Euler公式两边立方得：()e iα3=(cosα+
i sinα)3，
即：e i()3α=(cos3α-3sin2αcosα)+i(3sinαcos2α-sin3α)，
（23）
又由Euler公式得：e i()3α=cos3α+i sin3α，（24）
比较（23）、（24）可得：
{cos3α=cos3α-3sin2αcosα，
sin3α=3sinαcos2α-sin3α，（25）
由cos2α+sin2α=1得：sin2α=1-cos2α,cos2α=
1-sin2α，将其分别代入（25）式即可得（21）、（22）两
式.
6.D e Moivre公式：()
cosα+i sinαn=cos nα+i sin nα.
（26）52
证明：将Euler 公式两边n 次方得：()e iαn
=
()cos α+i sin αn
，
（27）
而()e iαn
=e
i ()
nα=cos nα+i sin nα，
（28）
比较（27）、（28）两式即可得（26）式.7.半角公式I ：
cos α
2=；（29）sin
α2=；
（30）tan α2=.（31）
证明：由（13）式得：
cos α=cos 2α2-sin 2α2=ìí
îïïcos 2α2-æèöø1-cos 2α2=2cos 2α2
-1，
æ
è
öø1-sin 2α2-sin 2α2=1-2sin 2α2，
即可得（29）、（30）式.
由tan α
=sin αcos α
得：tan α2=sin α
2cos α2=±，
即可得（31）式.
8.半角公式II ：
tan α2=sin α1+cos α=1-cos α
sin α
.（32）
证明：由tan α=
sin α
cos α
得：tan α2=
sin α
2cos α
2
=ìí
î
ïïïï
ïï2sin α2cos α22cos 2α2=sin α1+cos α，2sin
2α22sin α2cos α
2=1-cos αsin α.9.诱导公式I ：
cos ()-α=cos α；（33）sin ()-α=-sin α；（34）tan ()-α=-tan α；
（35）cot ()-α=-cot α.
（36）
证明：由Euler 公式得：()e iα-1
=()cos α+i sin α-1
，即e
i ()
-α=
1cos α+i sin α=
cos α-i sin α()cos α+i sin α()
cos α-i sin α=cos α-i sin αcos 2α+sin 2
α
=cos α-i sin α，（37）而e
i ()
-α=cos ()-α+i sin ()-α，
（38）
比较（37）、（38）两式即可得（33）、（34）两式.再由tan α=sin αcos α、cot α=1tan α=cos α
sin α
可得（35）、（36）两式.
10.诱导公式II ：
cos æèöø
π2+α=-sin α；（39）sin æèöøπ2+α=cos α；
（40）tan æèöø
π2+α=-cot α；
三角函数诱导公式推导
（41）cot æèöøπ2+α=-tan α.（42）证明：由Euler 公式得：
e
i æèöø
π2+α=cos æèöøπ2+α+i sin æèöø
π2+α，
（43）
而e
i æèöø
π2+α=e i π2
∙e iα=æè
öøcos π2+i sin π2()
cos α+i sin α=i ()cos α+i sin α=()-sin α+i cos α，
（44）
比较（43）、（44）两式即可得（39）、（40）两式，再由
tan α=sin αcos α及cot α=1tan α=cos αsin α
可得（41）、（42）两
式.
11.诱导公式III ：
cos æèöø
π2-α=sin α；（45）sin æèöøπ2-α=cos α；（46）tan æèöø
π2-α=cot α；
（47）cot æèöøπ2-α=tan α.（48）证明：由Euler 公式得：
e
i æèöø
π2-α=cos æèöøπ2-α+i sin æèöø
π2-α，
（49）
而e i æèöø
π2
-α=e i π
2∙e
i ()
-α=æè
öøcos π2+i sin π2[]cos ()-α+i sin ()-α=i ()cos α-i sin α=sin α+i cos α，
（50）
比较（49）、（50）两式即可得（45）、（46）两式，再由tan α=sin αcos α及cot α=1tan α=cos αsin α.
可得
（47）、（48）两式.
角的一般形式为k π2
±α,k ∈Z
，要求它的三角函
数值，需先将α看作为锐角，然后根据诱导公式进行求解.
53
研研
究究
12.
cos(α-β
sinα
sinα
cos
证
()
α+β，
e i()
α-β
由（
e i()
α+β
+sin(α-
而e i(
=(
=2(
13.
cosα-β2
cos
sinα
sinα
e i
α+β
2
e i
α-β
2
由（
e i
α
+β
2∙
即e iα
iæ
è
ç
ö
ø
÷
cos
α+β
2sinα-β2+sinα+β2cosα-β2，（65）
而e iα=cosα+i sinα，（66）
比较（65）、（66）两式可得：
ì
í
î
ï
ï
cosα=cosα+β2cosα-β2-sinα+β2sinα-β2，()67
sinα=cosα+β2sinα-β2+sinα+β2cosα-β2，()68
再由（63）、（64）两式相除可得：
e iβ=æèçöø÷
cos
α+β
2cosα-β2+sinα+β2sinα-β2+
iæ
è
ç
ö
ø
÷
-
cos
α+β
2sinα-β2+sinα+β2cosα-β2，（69）
而e iβ=cosβ+i sinβ，（70）
比较（69）、（70）两式可得：
ì
í
î
ï
ï
cosβ=cosα+β2cosα-β2+sinα+β2sinα-β2，()71
sinβ=-cosα+β2sinα-β2+sinα+β2cosα-β2，()72
由（67）±（71）可得（59）、（60）两式，
而（68）±（72）可得（61）、（62）两式.
14.辅助角公式：a sinα+b cosα=a2+b2sin()α+ϕ，
其中点()
a,b在ϕ角的终边上.
证明：a sinα+b cosα
=a2+b2æ
è
çç
ö
ø
÷÷
a
a2+b2
sinα+b
a2+b2
cosα，
注意到
æö2+æö2=a2+b2
a2+b2
=1，
由cos2α+sin2α=1可设cosϕ
=sinϕ，（73）
于是a sinα+b cosα=a2+b2(cosϕsinα+sinϕcosα)
=a2+b2sin()α+ϕ.
又由（73）式知点()
a,b在ϕ角的终边上.
用Euler公式来推导与证明三角函数公式的过程
比较简洁，其思路也比较简单.在推导和证明的过程
中，同学们要注意选择合适的公式，将Euler公式与三
角函数中的基本公式关联起来，合理进行推理、运算.
（作者单位：云南省宣威市第八中学）54

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