《诱导公式（第二课时）》教学设计
◆教学目标
1．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（±α的正弦、余弦、正切）；通过经历诱导公式的探究过程，积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验，发展直观想象素养．
2．初步应用诱导公式解决问题，积累解题经验，发展数学运算素养．
◆教学重难点
◆
教学重点：利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明．
教学难点：诱导公式的有效识记和应用．
◆课前准备
PPT课件．
资源引用：【知识点解析】诱导公式五和六的认识
【知识点解析】5.3 诱导公式知识导图
◆教学过程
（一）新知探究
引导语：通过上一节课的研究，我们知道了将圆的对称性代数化就得到了诱导公式，这些都是三角函数的对称性．本节课沿着上一节课的思路继续进行．
问题1：通过圆关于原点、x轴、y轴对称，我们得到了诱导公式二、三、四，你还能到一些特殊的直线对称，或者两次对称，类比前面的方法，写出相应的问题，并解决吗？试一试．
图1
预设的师生活动：教师根据学生完成情况，挑选如下内容进行展示．其他拓展内容视情况而
定，可以展示，也可以由学生课下交流．
预设答案：
（1）提出问题：如图1，点P1关于直线y＝x的对称点P5，以OP5为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？
解：如图1，以OP5为终边的角β都是与角－α终边相同的角，即β=2kπ＋(－α)（k∈Z）．因此，只要探求角－α与α的三角函数值之间的关系即可．
设P5（x5，y5），由于P5是点P1关于直线y＝x的对称点，可以证明：x5＝y1，y5＝x1．
根据三角函数的定义，得sin（－α）＝y5，cos（－α）＝x5．
从而得
公式五
sin（－α）＝cos α，
cos（－α）＝sin α．
图2
（2）提出问题：如图2，点P1关于直线y＝x的对称点P5，再作P5关于y轴的对称点P6，又能得到什么结论？以OP6为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？
解：接上一题．如图2，以OP6为终边的角β都是与角＋α终边相同的角，即β=2kπ＋(＋α)（k∈Z）．因此，只要探求角＋α与α的三角函数值之间的关系即可．
设P6（x6，y6），由于P6是点P5关于y轴的对称点，因此有：x6＝－x5，y6＝y5．
根据三角函数的定义，得sin（＋α）＝y6，cos（＋α）＝x6．
从而得
公式六
图3
sin（＋α）＝cosα，
cos（＋α）＝－sin α．
（3）提出问题：如图3，点P1关于x轴的对称点是P7，再作P7关于直线y＝x的对称点P6，又能得到什么结论？以OP6为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？
解：略．
★资源名称：【知识点解析】诱导公式五和六的认识
★使用说明：本资源展现“诱导公式五和六的认识”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示．
注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
追问：除了上面的两次对称关系，角＋α的终边与角α的终边还具有怎样的对称性？据此你将如何证明公式六？
预设的师生活动：如果有学生提前想到了就延续前面的展示活动，如果学生没有想到，则由教师提出这个追问，促进学生思考．
预设答案：角α的终边旋转角，就得到角＋α的终边．
图4
如图4，由两个三角形全等易得点P8与P1坐标间关系，进一步可得公式六．
设计意图：通过设置问题1，一方面，使学生更加深入地了解圆具有丰富的对称性，另一方面，让他们通过类比，不断地利用数形结合的思想方法，提高自己提出问题、分析问题、解决问题的能力，发展逻辑推理、几何直观等核心素养．
问题2：回顾利用公式一～公式四，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，并且建立了流程图的求解程序，那么公式五或公式六的作用是什么？可能在哪个环节用到这两组公式？
预设的师生活动：在学生思考展示的基础上互相交流，并完善．
预设答案：利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．如图5所示可以在变成锐角的过程中发生作用．公式一～六都叫做诱导公式(induction formula)．
任意角的三角函数
任意正角的三角函数
用公式三或一
0～2π的角的三角函数
锐角的三角函数
用公式一
用公式二或四、五、六
图5
设计意图：基于前述的求解程序，进行理性思考，完善求解程序，帮助学生提升运算素养．
例3  证明：（1）sin＝－cos α；（2）cos＝sin α．
例4  化简：．
追问：观察题目中的角，对比诱导公式，根据图4，应该怎样化简转化为公式的形式？
预设的师生活动：学生更具问题的引导，独立思考，并求解．学生展示时紧扣图4进行．
预设答案：
例3  证明：（1）sin＝sin＝－sin＝－cos α；
（2）cos＝cos＝－cos＝sin α．
例4  解：原式＝
＝
三角函数诱导公式教案＝－
＝－tan ．
设计意图：引导学生理性思考，有序解题，完善求解程序，提升数学运算素养．
例5  已知sin（53°－α）＝，且－270°＜α＜－90°，求sin（37°＋α）的值．
追问：观察题目中的角，它们有怎样的关系？和哪个诱导公式接近？能不能通过换元，使得已知角与所求角之间关系更加明了？由此你确定的求解思路是怎样的？
预设的师生活动：让学生通过观察，自己思考并回答．
预设答案：
分析：注意到（53°－α）+（37°＋α）=90°，如果设β＝53°－α，γ= 37°＋α，那么β+γ=90°，由此可利用诱导公式和已知条件解决问题．
解：设β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么β＋γ＝90°，从而γ＝90°－β．于是
sin γ＝sin（90°－β）＝cos β．
因为－270°＜α＜－90°，所以143°＜β＜323°．

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