第三讲  三角函数的诱导公式
一、教学目标
三角函数诱导公式教案1.能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值
2.能够进行简单的三角函数式的化简与恒等式的证明
二、知识点的梳理
知识点一、三角函数的诱导公式知识点总结
公式一
sin （2k π＋α）= sin α      cos （2k π＋α）= cos α    tan （2k π＋α）= tan α
公式二
sin （π＋α）= -sin α      cos （π＋α）= -cos α      tan （π＋α）= tan α
公式三
sin （-α）= -sin α          cos （-α）= cos α          tan （-α）= -tan α
公式四
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin （π-α）= sin α        cos （π-α）= -cos α      tan （π-α）= -tan α
公式五
2
π+α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）= cos α        cos （2
π+α）= -sin α  公式六
2
π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= cos α        cos （2
π-α）= sin α  拓展——公式七
2
3π+α与α的三角函数值之间的关系： sin （23π+α）= -cos α      cos （2
3π+α）= sin α                                          拓展——公式八
2
3π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （23π-α）= -cos α        cos （2
3π-α）= -sin α          (以上k ∈Z)
方法点拨： 把α看作锐角
一、前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限
公式（五）到公式（八）总结为一句话：函数名改变，符号看象限（原函数所在象限）
二、奇变偶不变，符号看象限 将三角函数的角度全部化成απ
+⋅2k 或是απ
-
⋅2k ，符号名该不该变就看k 是奇数还是偶数，
是奇数就改变函数名，偶数就不变
知识点二、求任意角的三角函数的步骤：
任意负角的三角函数 任意正角的三角函数  用公式 三或一 用公式一 0~2π的三角函数
用公式 二或四 锐角的三角函数
三、典型例题
（一）利用诱导公式求值
例1、求下列各三角函数的值：（1）10sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭
；（2）31cos 6π；（3）tan （－855°）．
例2、求下列各三角函数的值：
（1）252525sin cos tan()634
πππ++-；（2）()()cos 585tan 300--- （3）2222132131sin cos 6tan 10cot 243ππππ-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
例3、（1）已知cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭25cos sin 66ππαα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值． （2）已知1cos(75)3
α-︒=-，且α为第四象限角，求sin(105°+α)的值．
变式练习：
1.求sin(-1200°)·cos1290°+cos(-1020°)·sin(-1050°)+tan945°的值．
2.已知1cos(75)3
α︒+=，其中α为第三象限角，求cos(105°-α)+sin(α-105°)的值．
3.已知函数()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中a 、b 、α、β都是非零实数，又知f （2009）=－1，求f （2010）．
（二）利用诱导公式化简
例1、化简：
（1）sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-；（2）cos sin(5)cos(8)2cos(3)sin(3)sin(4)
πθθππθπθθπθπ⎛⎫- ⎪--⎝⎭⋅⋅----.
例2、化简：
sin()sin()()sin()cos()
n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-
变式练习：化简：
（1）
()()()()
cos cot 7tan 8sin 2-⋅--⋅--αππαπααπ；（2）()sin 2n n Z π∈；
（3）()222121tan tan ,22n n n Z παπα++⎛⎫⎛⎫+--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）sin()cos[(1)]sin[(1)]cos(]k k k k παπαπαπα---+++，()k z ∈．

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