2019-2020年高三数学《三角函数》复习教案 新人教A
一、 本讲进度
  《三角函数》复习
二、 本讲主要内容
1、 三角函数的概念及象限角、弧度制等概念;
    2、三角公式,包括诱导公式,同角三角函数关系式和差倍半公式等;
    3、三角函数的图象及性质。
三、 学习指导
    1、角的概念的推广。从运动的角度,在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。这样一来,在直角坐标系中,当角的终边确定时,其大小不一定(通常把角的始边放在x轴正半轴上,角的顶点与原点重合,下同)。为了把握这些角之间的联系,引进终边相同的角的概
念,凡是与终边α相同的角,都可以表示成k·3600+α的形式,特例,终边在x轴上的角集合{α|α=k·1800kZ},终边在y轴上的角集合{α|α=k·1800+900kZ},终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k·900kZ}
在已知三角函数值的大小求角的大小时,通常先确定角的终边位置,然后再确定大小。
弧度制是角的度量的重要表示法,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度制。在弧度制下,扇形弧长公式=|α|R,扇形面积公式,其中α为弧所对圆心角的弧度数。
    2、利用直角坐标系,可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。三角函数定义是本章重点,从它可以推出一些三角公式。重视用数学定义解题。
P(xy)是角α终边上任一点(与原点不重合),记,则,,,。
利用三角函数定义,可以得到(1)诱导公式:即与α之间函数值关系(kZ),其规律是“奇变偶不变,符号看象限”;(2)同角三角函数关系式:平方关系,倒数关系,商数关系。
3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式,诱导公式是和差公式的特例,对公式要熟练地正用、逆用、变用。如倍角公式:cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α,变形后得,可以作为降幂公式使用。
三角变换公式除用来化简三角函数式外,还为研究三角函数图象及性质做准备。
4、三角函数的性质除了一般函数通性外,还出现了前面几种函数所没有的周期性。周期性的定义:设T为非零常数,若对f(x)定义域中的每一个x,均有f(x+T)=f(x),则称Tf(x)的周期。当Tf(x)周期时,kTkZk0)也为f(x)周期。
三角函数图象是性质的重要组成部分。利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法,熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。
5、本章思想方法
(1) 等价变换。熟练运用公式对问题进行转化,化归为熟悉的基本问题;
(2) 数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题;
(3) 分类讨论。
四、 典型例题
例1、 已知函数f(x)=
(1) 求它的定义域和值域;
(2) 求它的单调区间;
(3) 判断它的奇偶性;
(4) 判断它的周期性。
解题思路分析:
  1x必须满足sinx-cosx>0,利用单位圆中的三角函数线及,kZ
函数定义域为,kZ
x∈时,
函数值域为[
  3)∵ f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称
f(x)不具备奇偶性
  4)∵ f(x+2π)=f(x)
函数f(x)最小正周期为2π
注;利用单位圆中的三角函数线可知,以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准,可区分sinx-cosx的符
号;
以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准,可区分sinx+cosx的符号,如图。
例2、 化简,α∈(π,2π)
解题思路分析:
凑根号下为完全平方式,化无理式为有理式
 
原式=
α∈(π,2π)
当时,
原式=
当时,
原式=
原式=
注:
    1、本题利用了“1”的逆代技巧,即化1为,是欲擒故纵原则。一般地有,,。
    2、三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一,引进辅助角,将它化为(取)是常用变形手段。特别是与特殊角有关的sin±cosx,±sinx±cosx,要熟练掌握变形结论。
例3、
解题思路分析:
原式=
   
注:在化简三角函数式过程中,除利用三角变换公式,还需用到代数变形公式,如本题平方差公式。
4、已知00<α<β<900,且sinα,三角函数诱导公式教案sinβ是方程=0的两个实数根,求sin(β-5α)的值。
解题思路分析:
由韦达定理得sinα+sinβ=cos400sinαsinβ=cos2400-
sinβ-sinα=
 
sinα+sinβ=cos400
00<α<β< 900
sin(β-5α)=sin600=
注:利用韦达定理变形寻与sinα,sinβ相关的方程组,在求出sinα,sinβ后再利用单调性求α,β的值。
5、(1)已知cos(2α+β)+5cosβ=0,求tan(α+β)·tanα的值;
  2)已知,求的值。
解题思路分析:
(1) 从变换角的差异着手。
2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)-α
8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0
展开得:
13cos(α+β)cosα-3sin(α+β)sinα=0
同除以cos(α+β)cosα得:tan(α+β)tanα=
(2) 以三角函数结构特点出发
tanθ=2
注;齐次式是三角函数式中的基本式,其处理方法是化切或降幂。
6、已知函数(a(01)),求f(x)的最值,并讨论周期性,奇偶性,单调性。
解题思路分析:
对三角函数式降幂
 
f(x)=
y=au
0<a<1
y=au是减函数
由得,此为f(x)的减区间
由得,此为f(x)增区间
u(-x)=u(x)
f(x)=f(-x)
f(x)为偶函数
u(x+π)=f(x)
f(x+π)=f(x)
f(x)为周期函数,最小正周期为π
x=kπ(kZ)时,ymin=1
x=kπ+kZ)时,ynax=
注:研究三角函数性质,一般降幂化为y=Asin(ωx+φ)等一名一次一项的形式。
五、同步练习
(一) 选择题
    1、下列函数中,既是(0,)上的增函数,又是以π为周期的偶函数是
Ay=lgx2        By=|sinx|      Cy=cosx      Dy=

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