第五章三角函数
5.4三角函数的图象与性质
5.4.3正切函数的性质与图象
[目标]1.能够作出y＝tanx的图象；
2.理解并记住正切函数的性质；3.会利用正切函数的图象与性质解决相关问题．
[重点] 正切函数的性质．
[难点]正切函数的图象、性质及其应用．
知识点一正切函数y＝tanx的图象
[填一填]
正切函数y＝tanx的图象叫做正切曲线.
[答一答]
1.正切函数y＝tanx的图象与x＝kπ＋，k∈Z有公共点吗？
提示：没有．正切曲线是由被互相平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的．
2.直线y＝a与y＝tanx的图象相邻两交点之间的距离是多少？
提示：由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为π.
3.观察正切函数曲线，写出满足下列条件的x的集合．
(1)满足tanx＝0的集合为．{x|x＝kπ，k∈Z}
(2)满足tanx<0的集合为．{x|kπ－<x<kπ，k∈Z}
(3)满足tanx>0的集合为．{x|kπ<x<kπ＋，k∈Z}
知识点二正切函数y＝tanx的性质
[填一填]
(1)定义域是．{x|x≠kπ＋，k∈Z}
(2)值域是R，即正切函数既无最大值，也无最小值．
(3)周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π.
(4)奇偶性：正切函数是.奇函数
(5)单调性：正切函数在开区间内是增函数．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
(6)对称性：正切函数的图象关于原点对称，正切曲线都是中心对称图形，其对称中心坐标是，正切函数无对称轴．(，0)(k∈Z)
[答一答]
4.y＝tanx在定义域上是增函数吗？
提示：y＝tanx在每个开区间(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z内都是增函数，但在整个定义域上不具有单调性．
5.正切函数图象与x轴有无数个交点，交点的坐标为(kπ，0)(k∈Z)，因此有人说正切函数图象的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，这种说法对吗？
提示：不对．正切函数的图象不仅仅关于点(kπ，0)对称，还关于点(＋kπ，0)(k∈Z)对称，因此正切函数y＝tanx的对称中心为(，0)(k∈Z)．
类型一利用正切函数图象求定义域及值域
[例1]　求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝tan；(2)y＝.
[解]　(1)由x＋≠kπ＋，k∈Z得，x≠kπ＋，k∈Z.
所以函数y＝tan的定义域为{x，其值域为(－∞，＋∞)．
(2)由－tanx≥0得，tanx≤.
结合y＝tanx的图象可知，在上，满足tanx≤的角x应满足－<x≤，所以函数y＝的定义域为，其值域为[0，＋∞)．
1 求与正切函数有关的函数定义域要列出使各部分都有意义的不等式 组 ，然后求出x的范围.
2 求值域要用换元的思想，把tanx看作可取任意实数的自变量.
[变式训练1]　(1)求函数y＝＋lg(1－tanx)的定义域．
(2)求函数y＝sinx＋tanx，x∈的值域．
三角函数诱导公式教案解：(1)由题意得即－1≤tanx<1.
∵在内，满足上述不等式的x的取值范围是.又y＝tanx的周期为π，∴所求x的取值范围是，k∈Z，即为此函数的定义域．
(2)y1＝sinx，y2＝tanx均满足在区间上单调递增，∴函数y＝sinx＋tanx也满足在区间上单调递增，
∴此函数在上的值域为.
类型二正切函数的周期性
[例2]　求函数y＝tan与函数f(x)＝tanx＋|tanx|的最小正周期．
[解] 函数y＝tan的最小正周期为T＝；
f(x)＝tanx＋|tanx|＝k∈Z，
作出f(x)＝tanx＋|tanx|的简图，如图所示，易得函数f(x)＝tanx＋|tanx|的最小正周期T＝π.
一般地，函数y＝Atan ωx＋φ ＋B A≠0，ω>0 的最小正周期为T＝，常常使用此公式来求周期，也可以借助函数图象求周期.
[变式训练2]　若函数y＝tan(a≠0)的最小正周期为，则a＝. ±
解析：T＝＝，所以a＝±.
类型三正切函数的单调性及应用
[例3]　(1)求函数y＝tan的单调区间；
(2)比较tan与tan的大小．
[解]　(1)由kπ－<x－<kπ＋，k∈Z得，2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z.所以函数y＝tan的单调递增区间是，k∈Z，无单调递减区间．
(2)由于tan＝tan＝tan＝－tan，
tan＝－tan＝－tan，
又0<<<，而y＝tanx在上单调递增，
所以tan<tan，
所以－tan>－tan，

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