《任意角的三角函数》教学设计
本节课作为高三一轮复习的一节复习课，将角的概念推广与任意角的三角函数合并为一节，重点是任意角的三角函数。本教学设计主要就三角函数部分做设计说明。
总体来说，由旧及新,由易及难，逐步加强，逐步推进，给定定义后通过应用定义又逐步发现新知识，拓展、完善定义。先由初中的直角三角形中锐角三角函数的定义，过渡到直角坐标系中锐角三角函数的定义，再发展到直角坐标系中任意角三角函数的定义。
（一）创设情境——揭示课题
问题1：在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？
【设计意图】 学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是一种推广和拓展的过程（类似于从有理数到实数的扩展）。温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少。
问题 2：角的概念推广之后，这样的三角函数定义还适用吗？
问题 3：若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？
    留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导。         
    能表示吗？怎样表示？针对刚才的问题点名让学生回答。 用角的对边、邻边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于前面已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数。
【设计意图】 从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程。
    教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！
师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）。
问题 4：对于确定的角 α ，这三个比值是否与P在α 的终边上的位置有关？为什么？
    先让学生想象思考，作出主观判断，再引导学生观察右图，联系相似三角形知识，探索发现： 对于锐角α的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化。
    得出结论(强调)：当α为锐角时，六个比值随α的变化而变化；但对于锐角α的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化. 所以，六个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数。
（二）推广认知——形成概念
    将锐角的比值情形推广到任意角α后，水到渠成，师生共同进行探索和推广出：任意角的三角函数定义。同时教师强调：由于弧度制使角和实数建立了一一对应关系，所以三角函数是以实数为自变量的函数，对数学学习能力较好的同学起到了很好的指导作用。
教师指出: sinα、cosα、tanα的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟，cotα、cscα、secα的定义域不要求记忆。
（关于值域，到后面再学习）。
三角函数诱导公式教案【设计意图】 定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域. 指导学生根据定义自主探索确定三角函数定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握。
（三）巩固新知——探求规律
    为了使学生达到对知识的深化理解，进而达到巩固提高的效果，
例4 求终边在直线y=2x上角α的正弦、余弦和正切值。
分析： （1）直线上有几种角的终边？答案是两种。（2）终边上有无穷多个点，根据三角函数的定义，只要知道α终边上任意一个点的坐标，就可以计算这个角的三角函数值（或判断其无意义）
师生探索：紧扣三角函数定义求解，首先要在终边上取定一点。终边在哪儿呢？取定哪一点呢？任意点、还是特殊点？要灵活，只要能够算出三角函数值，都可以。
    取特殊点能使计算更简明。
    等待学生基本理解和掌握三角函数定义后，观察、分析初、高中所计算的函数值有何变化，让学生意识到三角函数值的正负与角所在象限有关, 然后引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，从而导出三角函数值的正负与角所在象限的关系，进而由教师总结符号记忆方法,便于学生记忆。
【设计意图】 判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求. 要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，这也是理解和记忆的关键。
（四）总结反思——提高认识
    由学生总结本节课所学习的主要内容：⑴任意角的三角函数的定义及其定义域；⑵三角函数的符号规律。让学生通过知识性内容的小结，把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质；通过数学思想方法的小结，使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标。
（五）任务后延——自主探究
    学生经过以上四个环节的学习，已经初步掌握了任意角的三角函数的定义及三角函数的符
号规律，有待进一步提高认知水平，因此我针对学生素质的差异设计了有层次的作业，其中思考题的设计思想是：综合练习巩固提高,更为下节的学习内容打下基础，同时留给学生课后自主探究，这样既使学生掌握基础知识，又使学有佘力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的，以有利于全体学生的发展。
六、简述板书设计
    cotα、cscα、secα的定义写在sinα、cosα、tanα的左下方，突出本节重要内容的主体地位。
§4.1角的概念的推广与任意角的三角函数（教学案）
班级        姓名          学号     
【典型例题】
题型一：角的概念及表示
【例1】设
（1）将用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；
（2）将用角度制表示出来，并在～之间出与它们终边相同的角.
【例2】已知为第一象限角，试确定是第几象限角。
题型二：单位圆中的三角函数线
【例3】利用单位圆中的三角函数线，写出满足不等式的角x的集合：sinx
题型三：三角函数的定义
【例4】已知角的终边在直线y=2x上，求的值.
【当堂检测】
1. 与终边相同的角的表达式中，正确的是  （      ）
A.2kπ＋45º,k∈Z  B.k·360º＋,k∈Z  C. k·360º－315º,k∈Z  D.kπ＋, k∈Z
2.已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（  ）
A、1            B、4            C、1或4            D、2或4
《任意角的三角函数》学情分析
学生已经掌握的内容及学生学习能力：
1. 学生在初中时已经学习了基本的锐角三角函数的定义，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识和求法。
2.学生的运算能力较差，很多学生的三角运算需要加强练习。
3.部分同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。
4.在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，必须在老师一定的指导下才能进行。
《任意角的三角函数》教学效果
    通过课后与学生交流以及课后练习的批阅，对本节课的教学效果总结如下：
（1）知识与能力：这节课从知识传授上看比较成功，问题环环相扣，但从能力培养上略有不足，主要是在例题与练习的处理上，投入的时间不足，没有及时将知识内化为能力，但通过课后练习的批改和讲解，师生对三角函数概念的理解都有了质的飞跃。 
（2）循序渐进：在题目设计上相对于学生已有的知识是难了一点，特别是弧度制的利用较为频繁，个别学生对弧度制的使用不够熟练，因此出错率高。在今后的教学中要注意梯度的设计，跨度不要太大，贴近教材、贴近学生、贴近实际。 
（3）教给与教会：这节课教学设计比较自然，台阶细密、跨度较小，学生在学习过程中没有遇到陷阱，没有产生激烈的思维碰撞，因此，看似顺畅，效果不一定最好。下一步要注意梯度的设计，要有一定的思维跨度。 
（4）脚踏实地：由于教师对新课改理解不够深，追求课堂气氛，将“满堂灌”变成了“满堂问”。学生为了表现自己，争抢回答问题，失去了对问题的深入思考，致使学生基础不扎实了。在今后的教学中要切实抓好落实，把数学解题真正落实到学生的笔头上。 
反思是人类进步的阶梯，进步其实就是在没有极限的发现问题和解决问题的矛盾发展的过程中点滴积累起来的。努力让自己同时也鼓励自己的学生做生活工作的有心人，发现问题，在反思中促进自身的成长。
课堂教学效益评价表
  听课时间：  2015  年_ 4 _月  9  日    第  1  节               

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