进位制
知识框架
一、数的进制
1.十进制：
我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。
2.二进制：
在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。
3.进制：
一般地，对于k进位制，每个数是由0，1，2，，共k个数码组成，且“逢k进一”．进位制计数单位是，，，．如二进位制的计数单位是，，，，八进位制的计数单位是，，，．
4.进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式
十进制表示形式：；
二进制表示形式：；
为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上，表示是进位制的数
如：，，,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．
5.进制的四则混合运算和十进制一样
先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
二、进制间的转换：
一般地，十进制整数化为进制数的方法是：除以取余数，一直除到被除数小于为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为进制数．反过来，进制数化为十进制数的一般方法是：首先将进制数按的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．
如右图所示:
例题精讲
【例 1】 把9865转化成二进制、五进制、八进制，看看谁是最细心的。
【考点】十进制化成多进制  【难度】3星  【题型】解答
【解析】 一定要强调两点（1）商到0为止，（2）自下而上的顺序写出来
           
         
【答案】,,
【巩固】 ；
【考点】十进制化成多进制  【难度】3星  【题型】解答
【解析】 本题是进制的直接转化：；
【答案】
【例 2】 将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少？
【考点】多进制转化成十进制  【难度】3星  【题型】解答二进制转换为十进制例题
【解析】 根据二进制与十进制之间的转化方法，
(11010.11)2 =1×24+1×23+0×22+1×21+0×20+1×2-1+1×2-2=16+8+0+2+0+0.5+0.25=26.75。
【答案】26.75
【巩固】 同学们请将化为十进制数，看谁算的又快又准。
【考点】多进制转化成十进制  【难度】3星  【题型】解答
【解析】
   
   
【答案】,,
【例 3】 二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？
【考点】多进制转化成多进制  【难度】4星  【题型】解答
【解析】 根据二进制与八进制之间的转化方法推导出二八对照表：
八进制数
0
1
2
3
4
5
6
7
二进制数
000
001
010
011
100
101
110
111
从后往前取三合一进行求解，可以得知
【答案】
【巩固】 将二进制数11101001.1011转换为十六进制数。
【考点】多进制转化成多进制  【难度】4星  【题型】解答
【解析】 在转换为高于9进制的数时，遇到大于9的数用字母代替，如：A代表10、B代表11、C代表12、D代表13……。根据取四合一法，二进制11101001.1011转换为十六进制为E9.B。
【答案】E9.B
【例 4】 例4① ________；
② ；
③________；
【考点】多进制混合计算  【难度】4星  【题型】填空
【解析】 ① 对于这种进位制计算，一般先将其转化成我们熟悉的十进制，再将结果转化成相应的进制：  ；
② 可转化成十进制来计算：
；
如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对进行除法计算，只是每次借位都是2，可得；
③十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方
法叫“凑整法”，在进制中也有“凑整法”，要凑的就是整．
原式
；
【答案】(1)、，（2）、，（3）、
【巩固】 ①在八进制中，________；
②在九进制中，________．
【考点】多进制混合计算  【难度】4星  【题型】填空
【解析】 ①原式；
②原式．
【答案】（1）、，（2）、
【例 5】 例5 若，则________．
【考点】多进制的判断  【难度】5星  【题型】填空
【解析】 若，则，经试验可得．
【答案】
【巩固】 在几进制中有？
【考点】多进制的判断  【难度】5星  【题型】解答
【解析】 利用尾数分析来解决这个问题：
由于，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位．
所以说进位制为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个．
但是式子中出现了4，所以要比4大，不可能是4，3，2进制．
另外，由于，因为，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道，那么不能是12．
所以，只能是6．
【答案】
【例 6】 例6有个吝啬的老财主，总是不想付钱给长工。这一次，拖了一个月的工钱，还是不想付。可是不付又说不过去，便故作大方地拿出一条金链，共有7环。对长工说：“我不是要拖欠工资，只是想连这一个月加上再做半年的工资，都以这根金链来付。”他望向吃惊的长工，心中很是得意，“本人说话，从不食言，可以请大老爷作证。”大老爷可是说一不二的人，
谁请他作证，他当作一种荣耀，总是分文不取，并会以命相拼也要兑现的。这越发让长工不敢相信，要知道，这在以往，这样的金链中的一环三个月的工钱也不止。老财主越发得意，终于拿出杀手锏：“不过，我请大老爷作证的时候，提到一项附加条件，就是这样的金链实在不能都把它断开，请你只能打开一环，以后按月来取才行！”当长工明白了老财主的要求后，不仅不为难，反倒爽快地答应了，而且，从第一个月到第七个月，顺利地拿到了这条金链，你知道怎么断开这条金链吗？
【考点】进制在生活中的运用  【难度】2星  【题型】解答
【解析】 断开第三环，从而得到1，2，4环的三段，第一个月拿走一环，第二个月以一换二，第三个月取一环，第四个月以三换四，第五个月再取一环，第六个月以一换二，第七个月再取一环。
【答案】，，
【巩固】 现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？
【考点】进制在生活中的运用  【难度】2星  【题型】解答
【解析】 因为砝码的克数恰好是1，2，4，8，16，而二进位制数从右往左数各位数字分别表示：1，2，22=4，23=8，24=16，在砝码盘上放1克砝码认为是二进位制数第一位(从右数)是1，放2克砝码认为是二进位制数第二位是1，……，放16克砝码认为是二进位制数第五位是1，不放砝码就认为相应位数是零，这样所表示的数中最小的是1，最大的是(11111)2=24+23＋22＋21＋20=(31)10，这就是说1至31的每个整数(克)均能称出。所以共可以称出31种不同重量的物体。
【答案】
【例 7】 例7如果只考虑100克以内的重量，至少需要多少包？
【考点】进制在生活中的运用  【难度】3星  【题型】解答
【解析】 至少需要1，2，4，8，16，32，64（7包）
【答案】至少需要1，2，4，8，16，32，64（7包）
【巩固】 如果只许在天平的一边放砝码，要称量100g以内的各种整数克数，至少需要多少个砝码？
【考点】进制在生活中的运用  【难度】3星  【题型】解答
【解析】 至少需要：1，2，4，8，16，32，64这七种重量的砝码即可。
【答案】至少需要：1，2，4，8，16，32，64这七种重量的砝码即可
【例 8】 例8有10箱钢珠，每个钢珠重10克，每箱600个.如果这10箱钢珠中有1箱次品，次品钢珠每个重9克，那么，要出这箱次品最少要称几次?
【考点】进制在生活中的运用  【难度】3星  【题型】解答
【解析】 略
【答案】解决这个问题有一个巧妙的方法.将10箱钢珠分别编为1～10号，然后从1号箱中取1个钢珠，从2号箱中取2个钢珠……，这样共取了（个）钢珠，重量是：（克），如果轻了n(1≤n≤10)克，那么第几号箱就是次品.在这个方法中，第10号箱也可不取，这样共取出45个钢珠，如果重450克，那么10号箱是次品；否则，轻几克几号箱就是次品.总结：不同的进制数与十进制数的对应关系，即：每个十进制数都能表示成一个相应的二进制数，反之，也是。

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