算法设计与分析课程考查论文
背包问题的算法设计策略对比与分析
0-1背包问题的算法设计策略对比与分析
0 引言
对于计算机科学来说，算法（Algorithm）的概念是至关重要的。算法是一系列解决问题的清晰指令，也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。如果一个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。
算法可以理解为有基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤。或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤和序列可以解决一类问题。算法可以使用自然语言、伪代码、流程图等多种不同的方法来描述。
一个算法应该具有以下五个重要的特征：
有穷性：一个算法必须保证执行有限步之后结束；
确切性：算法的每一步骤必须有确切的定义；
输入：一个算法有0个或多个输入，以刻画运算对象的初始情况，所谓0个输入是指算法本身定除了初始条件；
输出数据结构与算法论文：一个算法有一个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。没有输出的算法是毫无意义的；
可行性：算法原则上能够精确地运行，而且人们用笔和纸做有限次运算后即可完成。
计算机科学家尼克劳斯-沃思曾著过一本著名的书《数据结构十算法= 程序》，可见算法在计算机科学界与计算机应用界的地位。
1 算法复杂性分析的方法介绍
算法的复杂性是算法效率的度量，是评价算法优劣的重要依据。一个算法的复杂性的高低体现在运行该算法所需要的计算机资源的多少上面，所需的资源越多，我们就说该算法的复杂
性越高；反之，所需的资源越低，则该算法的复杂性越低。
计算机的资源，最重要的是时间和空间（即存储器）资源。因而，算法的复杂性有时间复杂性和空间复杂性之分。
不言而喻，对于任意给定的问题，设计出复杂性尽可能地的算法是我们在设计算法是追求的一个重要目标；另一方面，当给定的问题已有多种算法时，选择其中复杂性最低者，是我们在选用算法适应遵循的一个重要准则。因此，算法的复杂性分析对算法的设计或选用有着重要的指导意义和实用价值。
关于算法的复杂性，有两个问题要弄清楚：用怎样的一个量来表达一个算法的复杂性；对于给定的一个算法，怎样具体计算它的复杂性。
让我们从比较两对具体算法的效率开始。
1.1比较两对算法的效率
考虑问题1：已知不重复且已经按从小到大排好的m个整数的数组]（为简单起见。还
设m=2 k，k是一个确定的非负整数）。对于给定的整数c，要求寻一个下标i，使得A[i]=c；若不到，则返回一个0。
问题1的一个简单的算法是：从头到尾扫描数组A。照此，或者扫到A的第i个分量，经检测满足A[i]=c；或者扫到A的最后一个分量，经检测仍不满足A[i]=c。我们用一个函数Search来表达这个算法：
Function Search (c:integer):integer;
Var J:integer;
Begin
J:=1; {初始化}
{在还没有到达A的最后一个分量且等于c的分量还没有到时，
查下一个分量并且进行检测}
While (A[i]<c)and(j<m) do
        j:=j+1;
If A[j]=c then search:=j {在数组A中到等于c的分量，且此分量的下标为j}
else Search:=0; {在数组中不到等于c的分量}
End;
容易看出，在最坏的情况下，这个算法要检测A的所有m个分量才能判断在A中不到等于c的分量。
解决问题1的另一个算法利用到已知条件中A已排好序的性质。它首先拿A的中间分量A[m/2]与c比较，如果A[m/2]=c则解已到。如果A[m/2]>c，则c只可能在A[1],A[2],..,A[m/2-1]之中，因而下一步只要在A[1], A[2], .. ，A[m/2-1]中继续查；如果A[m/2]<c，则c只可能在A[m/2+1],A[m/2+2],..,A[m]之中，因而下一步只要在A[m/2+1],A[m/2+2],..,A[m]中继续查。不管哪一种情形，都把下一步需要继续查的范围缩小了一半。再拿这一半的子数组的中间分量与c比较，重复上述步骤。照此重复下去，总有一个时候，或者到一个i使得A[i]=c，或者子数组为空（即子数组下界大于上界）。前一种情况到了等于c的分量，后一种情况则
不到。
这个新算法因为有反复把供查的数组分成两半，然后在其中一半继续查的特征，我们称为二分查算法。它可以用函数B_Search来表达：
Function B_Search ( c: integer):integer;
Var
L,U,I：integer;{U和L分别是要查的数组的下标的上界和下界}
Found：boolean;
Begin
L:=1; U:=m; {初始化数组下标的上下界}
Found:=false; {当前要查的范围是A[L]..A[U]。}
{当等于c的分量还没有到且U>=L时，继续查}
While (not Found) and (U>=L) do
Begin
I:=(U+L) div 2;{数组的中间分量}
If c=A[I] then Found:=Ture
else if c>A[I] then L:=I+1
else U:=I-1;
End;
If Found then B_Search:=1
else B_Search:=0;
End;
容易理解，在最坏的情况下最多只要测A中的k+1(k=logm,这里的log以2为底，下同)个分量，就判断c是否在A中。
算法Search和B_Search解决的是同一个问题，但在最坏的情况下（所给定的c不在A中），两个算法所需要检测的分量个数却大不相同，前者要m=2 k个，后者只要k+1个。可见算法B_Search比算法Search高效得多。
以上例子说明：解同一个问题，算法不同，则计算的工作量也不同，所需的计算时间随之不同，即复杂性不同。
上图是运行这两种算法的时间曲线。该图表明，当m适当大（m>m0）时，算法B_Search比算法Search省时，而且当m更大时，节省的时间急剧增加。
不过，应该指出：用实例的运行时间来度量算法的时间复杂性并不合适，因为这个实例时间与运行该算法的实际计算机性能有关。换句话说，这个实例时间不单纯反映算法的效率而是反映包括运行该算法的计算机在内的综合效率。我们引入算法复杂性的概念是为了比较解决同一个问题的不同算法的效率，而不想去比较运行该算法的计算机的性能。因而，不应该取算法运行的实例时间作为算法复杂性的尺度。我们希望，尽量单纯地反映作为算法精髓的计算方法本身的效率，而且在不实际运行该算法的情况下就能分析出它所需要的时间和空间。
1.2复杂性的计量
算法的复杂性是算法运行所需要的计算机资源的量，需要的时间资源的量称作时间复杂性，需要的空间（即存储器）资源的量称作空间复杂性。这个量应该集中反映算法中所采用的方法的效率，而从运行该算法的实际计算机中抽象出来。换句话说，这个量应该是只依赖于算法要解的问题的规模、算法的输入和算法本身的函数。如果分别用N、I和A来表示算法要解问题的规模、算法的输入和算法本身，用C表示算法的复杂性，那么应该有：
C =F(N,I,A)
其中F(N,I,A)是N,I,A的一个确定的三元函数。如果把时间复杂性和空间复杂性分开，并分别用T和S来表示，那么应该有：
T =T(N,I,A) (2.1)
和 S =S(N,I,A) (2.2)
通常，我们让A隐含在复杂性函数名当中，因而将（2.1）和（2.2）分别简写为
T =T(N,I)
和 S =S(N,I)
由于时间复杂性和空间复杂性概念类同，计算方法相似，且空间复杂性分析相对地简单些，所以下文将主要地讨论时间复杂性。
下面以T(N,I)为例，将复杂性函数具体化。
根据T(N,I)的概念，它应该是算法在一台抽象的计算机上运行所需的时间。设此抽象的计算
机所提供的元运算有k种，他们分别记为O1,O2 ,..,Ok；再设这些元运算每执行一次所需要的时间分别为t1,t2,..,tk 。对于给定的算法A，设经过统计，用到元运算Oi的次数为ei，i=1,2,..,k ，很明显，对于每一个i，1<=i<=k，ei是N和I的函数，即ei=ei(N,I)。那么有：
(2.3)

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