《指数函数的概念》教学设计
一、教材分析
本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准教科书数学必修1第四章第4. 2. 1节《指数函数的概念》。从内容上看它是学生学习了一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数，以及函数性质的基础上，通过实际问题的探究，建立的又一函数模型。其研究和学习过程，与之前的函数研究过程类似。先由实际问题探究，建立指数函数的模型和概念，再画函数图像，然后借助函数图像讨论函数的性质，最后应用建立的指数函数模型解决问题。体现了研究函数的一般方法，让学生充分感受，数学建模、数学抽象、数据分析等核心素养，及由特殊到一般的思想方法。
二、教学目标
1、通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活的联系.
2、通过学习指数函数的概念，培养数学抽象和数学建模的数学素养．
三、教学重难点
理解指数函数的概念.
四、教学手段
通过学生间的讨论、交流及多媒体的演示等手段，使学生对所学知识，由具体到抽象，从感性认识上升到理性认识，在教学过程中让学生自己去感受指数函数的生成过程，由此来突破难点。
五、教学过程
同学们好，今天由我和大家一起探究和学习指数函数的概念。
上课前，送给大家一句话：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏。（PPT）这句话告诉我们什么道理呢？（假定现在获取的知识是1，学习的知识按照1%的速度增长，那么，一年后会怎样？）带着这样的问题，我们一起来学习这一节。首先来看一下这节课的学习目标（PPT）.
1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念。了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活的联系.
2.通过学习指数函数的概念，培养数学抽象和数学建模的核心素养．
对于幂，我们已经把指数x的范围拓展到了实数．上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法．
下面我们继续按照此研究思路研究其他类型的基本初等函数.
设计意图：明确本节课研究的内容，以及和前面课程的关系．通过对指数幂运算及函数概念和性质学习的铺垫，提出探究课题：指数函数的概念。培养和发展数学抽象和数学建模的核心素养。
知识探究（一）设计问题，创设情境
随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，A、B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区
门票价格，而B地则取消了景区门票．下表（表1）给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量．
表1
时间/年
A地景区
B地景区
人次/万次
年增加量/万次
人次/万次
年增加量/万次
2001
600
278
2002
609
9指数函数定义
309
31
2003
620
11
344
35
2004
631
11
383
39
2005
641
10
427
44
2006
650
9
475
48
2007
661
11
528
53
2008
671
10
588
60
2009
681
10
655
67
2010
691
10
729
74
2011
702
11
811
82
2012
711
9
903
92
2013
721
10
1 005
102
2014
732
11
1 118
113
2015
743
11
1 244
126
比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？
师生活动：学生观察表中数据，个别提问回答．
预设的答案：从表格中的数据不难看出，A、B两地景区的游客人次都在增长，A地区从600万增加到了743万，B地区从278万增加到了1244万，但是A地景区游客的年增加量大致相等（约为10万次）；B地景区游客的年增加量越来越大，从开始的31万次增长到最后的126万次．
设计意图：该问题是旅游经济的相关问题，A，B两地游客人数的增长和经济指标都源于真实数据，贴近中国的实际，利于学生从实际出发体会函数是刻画实际问题变化规律的数学模型．分析数据时，先从表格中的具体数据出发，通过直接观察数据的变化情况，做初步的定量分析．体会数学源于生活，发展学生数学抽象、数学建模和数学运算核心素养.通过典例问题的分析，让学生体验实际问题的分析方法，及指数函数变化特点.培养分析问题与解决问题的能力.
问题1：除了通过直接观察表格中数据的变化情况，我们还可以对数据做怎样的处理，可以更加形象清楚的发现其变化规律？比如能否将数据转化为图象的形式进行观察？怎样转化？
师生活动：学生讨论交流后提出方案，教师予以补充完善，然后进行实施．
预设的答案：为了有利于观察规律，根据表1，可以分别画出A，B两地景区采取不同措施后的15年，游客人次随年份变化的图象．x轴表示时间（年份），y轴表示参加旅游的人次，我们可以先根据表格中的数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连起来．画好的图象如图1．
设计意图：当通过直接观察数据的变化情况，不能发现数据的变化规律时，引导学生采取其他方法发现变化规律，比如将数据转化为图象形式进行观察．通过这种对数据的初步处理和形式转化，提升学生分析问题的能力．
问题2：观察图象，并结合表格中的数据，你能发现什么规律？
师生活动：学生观察图象和表格，个别提问回答．
预设的答案：通过观察图象，并结合表格中的数据，可以发现A地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长）；B地景区的游客人次则是非线性增长，并且增长速度越来越快，年增加量越来越大，但无论从图象还是表格上，都难看出年增加量的变化规律．
设计意图：通过观察图象的变化趋势，做定性分析，得到初步结论，同时提升学生直观想象的核心素养．
问题3：年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的，通过年增加量可以看出A地景区的游客人次的变化规律．那么，能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？谈谈你的想法．
师生活动：学生讨论交流后提出方案，教师予以补充完善，然后进行实施．
预设的答案：我们可以用“增长率”来刻画B地景区人次的变化规律．从2002年起，将B地景区每年的游客增加量除以上一年的游客人次，可以得到
                   
结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为0.11，是一个常数．
像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长．因此，B地景区的游客人次近似于指数增长．
设计意图：引导学生利用已知数据来说明图象的变化规律，并从图象中得到启发去处理数据，从而数形结合地发现实际问题变化规律的本质，得出B地景区的游客人次变化的规律．
问题4：结合上述分析，你能否建立一个游客人数随时间（经过的年数）变化的函数来描述B地景区游客人次的变化情况？
师生活动：学生独立完成后展示交流．
预设的答案：从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：
1年后，游客人次是2001年的1.111倍；
2年后，游客人次是2001年的1.112倍；
3年后，游客人次是2001年的1.113倍；
……
x年后，游客人次是2001年的1.11x倍；
如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么
y=1.11x (x∈[0,+∞))．                         ①
这是一个函数，其中指数x是自变量，这个函数刻画的实际问题的变化规律的特征是增长率不变，并且是呈指数增长．
设计意图：给出具体问题变化规律的数学表示，根据B地景区游客人次年增长率相等的这一变化规律的本质，得到解析式，并以此解释追问3中“指数增长”这一概念的由来．
知识探究（二）设计问题，创设情境
当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？请同学们进行思考．
师生活动：学生进行思考．
设计意图：该问题是碳14衰减的问题，生物体内的碳14含量随时间呈连续的指数衰减变化，这是一个经典的指数函数实例，有助于学生对指数函数概念的理解．另外，问题1和问题2一个是增长问题，一个是衰减问题，两个问题有利于学生从实际出发全面地认识指数函数．发展学生数学抽象、数学建模和数学运算核心素养.
问题1：设碳14含量的年衰减率为p, 生物刚死亡时体内碳14含量为1个单位，你能列出生物在死亡1年后，2年后，3年后，... , 其体内的碳14含量吗？ 你能求出p吗？

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