指数函数
1．指数函数の定义：
函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R
2.指数函数の图象和性质：
在同一坐标系中分别作出函数y=，y=，y=，y=の图象.
我们观察y=，y=，y=，y=图象特征，就可以得到の图象和性质。
a>1
0<a<1
图
象
性
质
(1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数
（4）在R上是减函数
  指数函数是高中数学中の一个基本初等函数，有关指数函数の图象与性质の题目类型较多，同时也是学习后续数学内容の基础和高考考查の重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．
1．比较大小
  例1　已知函数满足，且，则与の大小关系是_____．指数函数定义
  分析：先求の值再比较大小，要注意の取值是否在同一单调区间内．
  解：∵，
∴函数の对称轴是．
故，又，∴．
∴函数在上递减，在上递增．
  若，则，∴；
  若，则，∴．
  综上可得，即．
  评注：①比较大小の常用方法有：作差法、作商法、利用函数の单调性或中间量等．②对
于含有参数の大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．
2．求解有关指数不等式
  例2　已知，则xの取值X围是___________．
  分析：利用指数函数の单调性求解，注意底数の取值X围．
  解：∵，
∴函数在上是增函数，
∴，解得．∴xの取值X围是．
  评注：利用指数函数の单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同の指数式，并判断底数与1の大小，对于含有参数の要注意对参数进行讨论．
3．求定义域及值域问题
  例3　求函数の定义域和值域．
  解：由题意可得，即，
∴，故．  ∴函数の定义域是．
  令，则，
  又∵，∴． ∴，即．
∴，即．
∴函数の值域是．
  评注：利用指数函数の单调性求值域时，要注意定义域对它の影响．
4．最值问题
  例4　函数在区间上有最大值14，则aの值是_______．
  分析：令可将问题转化成二次函数の最值问题，需注意换元后の取值X围．
  解：令，则，函数可化为，其对称轴为．
∴当时，∵，
∴，即．
∴当时，．
  解得或（舍去）；
  当时，∵，
∴，即，
∴时，，
  解得或（舍去），∴aの值是3或．
  评注：利用指数函数の单调性求最值时注意一些方法の运用，比如：换元法，整体代入等
．
5．解指数方程
  例5　解方程．
  解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或（舍去），∴，∴，经检验原方程の解是．
  评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．
  6．图象变换及应用问题
  例6　为了得到函数の图象，可以把函数の图象（  ）．
  A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度
  B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度
  C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度
  D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度
  分析：注意先将函数转化为，再利用图象の平移规律进行判断．
  解：∵，∴把函数の图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数の图象，故选（C）．
  评注：用函数图象解决问题是中学数学の重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数の图象，并掌握图象の变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．
习题
1、比较下列各组数の大小：
  （1）若 ，比较 与 ；
  （2）若 ，比较 与 ；
  （3）若 ，比较 与 ；
  （4）若 ，且 ，比较a与b；
  （5）若 ，且 ，比较a与b．
  　解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数．由 ，故 ．
  （2）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．
  （3）由 ，因 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．

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