指数函数习题
一、选择题
1．定义运算a⊗b＝，则函数f(x)＝1⊗2x的图象大致为(  )
2．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是(  )
A．f(bx)≤f(cx)
B．f(bx)≥f(cx)
C．f(bx)>f(cx)
D．大小关系随x的不同而不同
3．函数y＝|2x－1|在区间(k－1，k＋1)内不单调，则k的取值范围是(  )
A．(－1，＋∞)                  B．(－∞，1)
C．(－1,1)                      D．(0,2)
4．设函数f(x)＝ln[(x－1)(2－x)]的定义域是A，函数g(x)＝lg(－1)的定义域是B，若A⊆B，则正数a的取值范围(  )
A．a>3                  B．a≥3
C．a>                  D．a≥
5．已知函数f(x)＝若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(  )
A．[，3)                  B．(，3)
C．(2,3)                  D．(1,3)
6．已知a>0且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1,1)时，均有f(x)<，则实数a的取值范围是(  )
A．(0，]∪[2，＋∞)                  B．[，1)∪(1,4]
C．[，1)∪(1,2]                      D．(0，)∪[4，＋∞)
二、填空题
7．函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值是________．
8．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
9．(2011·滨州模拟)定义：区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为________．
三、解答题
10．求函数y＝的定义域、值域和单调区间．
11．(2011·银川模拟)若函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在x∈[－1,1]上的最大值为14，求a的值．
12．已知函数f(x)＝3x，f(a＋2)＝18，g(x)＝λ·3ax－4x的定义域为[0,1]．
(1)求a的值；
(2)若函数g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．
指数函数答案
1.解析：由a⊗b＝得f(x)＝1⊗2x＝
答案：A
2. 解析：∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2.
又f(0)＝3，∴c＝3.∴f(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．
若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)．
若x<0，则3x<2x<1，∴f(3x)>f(2x)．
∴f(3x)≥f(2x)．
答案：A
3.解析：由于函数y＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k－1，k＋1)内不单调，所以有k－1<0<k＋1，解得－1<k<1.
答案：C
4. 解析：由题意得：A＝(1,2)，ax－2x>1且a>2，由A⊆B知ax－2x>1在(1,2)上恒成立，即ax－2x－1>0在(1,2)上恒成立，令u(x)＝ax－2x－1，则u′(x)＝axlna－2xln2>0，所以函数u(x)在(1,2)上单调递增，则u(x)>u(1)＝a－3，即a≥3.
答案：B
5. 解析：数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，则函数f(n)为增函数，
注意a8－6>(3－a)×7－3，所以，解得2<a<3.
答案：C
6. 解析：f(x)<⇔x2－ax<⇔x2－<ax，考查函数y＝ax与y＝x2－的图象，
当a>1时，必有a－1≥，即1<a≤2，
当0<a<1时，必有a≥，即≤a<1，
综上，≤a<1或1<a≤2.
答案：C
7. 解析：当a>1时，y＝ax在[1,2]上单调递增，故a2－a＝，得a＝.当0<a<1时，y＝ax在[1,2]上单调递减，故a－a2＝，得a＝.故a＝或.
答案：或
8. 解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．
曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．
答案：[－1,1]
9. 解析：如图满足条件的区间[a，b]，当a＝－1，b＝0或a＝0，b指数函数定义＝1时区间长度最小，最小值为1，当a＝－1，b＝1时区间长度最大，最大值为2，故其差为1.
答案：1
10. 解：要使函数有意义，则只需－x2－3x＋4≥0，即x2＋3x－4≤0，解得－4≤x≤1.
∴函数的定义域为{x|－4≤x≤1}．
令t＝－x2－3x＋4，则t＝－x2－3x＋4＝－(x＋)2＋，
∴当－4≤x≤1时，tmax＝，此时x＝－，tmin＝0，此时x＝－4或x＝1.
∴0≤t≤.∴0≤≤.
∴函数y＝的值域为[，1]．
由t＝－x2－3x＋4＝－(x＋)2＋(－4≤x≤1)可知，
当－4≤x≤－时，t是增函数，
当－≤x≤1时，t是减函数．
根据复合函数的单调性知：
y＝在[－4，－]上是减函数，在[－，1]上是增函数．
∴函数的单调增区间是[－，1]，单调减区间是[－4，－]．
11. 解：令ax＝t，∴t>0，则y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，其对称轴为t＝－1.该二次函数在[－1，＋∞)上是增函数．
①若a>1，∵x∈[－1,1]，∴t＝ax∈[，a]，故当t＝a，即x＝1时，ymax＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3(a＝－5舍去)．
②若0<a<1，∵x∈[－1,1]，
∴t＝ax∈[a，]，故当t＝，即x＝－1时，
ymax＝(＋1)2－2＝14.
∴a＝或－(舍去)．
综上可得a＝3或.
12. 解：法一：(1)由已知得3a＋2＝18⇒3a＝2⇒a＝log32.
(2)此时g(x)＝λ·2x－4x，
设0≤x1<x2≤1，
因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，
所以g(x1)－g(x2)＝(2x1－2x2)(λ－2x2－2x1)>0恒成立，即λ<2x2＋2x1恒成立．
由于2x2＋2x1>20＋20＝2，
所以实数λ的取值范围是λ≤2.
法二：(1)同法一．
(2)此时g(x)＝λ·2x－4x，
因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，
所以有g′(x)＝λln2·2x－ln4·4x＝ln2[－2·(2x)2＋λ·2x]≤0成立．
设2x＝u∈[1,2]，上式成立等价于－2u2＋λu≤0恒成立．
因为u∈[1,2]，只需λ≤2u恒成立，
所以实数λ的取值范围是λ≤2.

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