指数、根式
整数指数幂概念：
整数指数幂的运算性质：（1） （2）
（3）
其中， ．
1．的次方根的概念
一般地，如果一个数的次方等于，那么这个数叫做的次方根，
即： 若，则叫做的次方根，
例如：27的3次方根， 的3次方根，
32的5次方根， 的5次方根．
说明：①若是奇数，则的次方根记作； 若则，若则；
②若是偶数，且则的正的次方根记作，的负的次方根，记作：；（例如：8的平方根 16的4次方根）
③若是偶数，且则没意义，即负数没有偶次方根；
④ ∴；
⑤式子叫根式，叫根指数，叫被开方数。 ∴．
练习：求下列式子的值： ．
2．的次方根的性质
一般地，若是奇数，则；
若是偶数，则．
3．例题分析：
例1．求下列各式的值：
（1） （2） （3） （4）解：略。
例2．已知， 化简：．
解：当是奇数时，原式
当是偶数时，原式
所以， ．
例3．计算：
解：
例4．求值：．
解：
补充： （1）
（2））
（3）
分数指数幂
1．分数指数幂：
即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；
如果幂的运算性质（2）对分数指数幂也适用，
例如：若，则，， ∴ ．
即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。
规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是；
（2）正数的负分数指数幂的意义是．
2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用
即
说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；
（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。
3．例题分析：
例1．求值： ，，， ．
例2． 用分数指数幂的形式表示下列各式：
， ， .
解： =；
=；
=．
例3．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．
（1）； （2）；
解（1）
=
=；
（2） ==．
例4．计算下列各式：
（1） （2）．
解：（1）==
==；
（2）=．
例5．化简：.
解： ===.
例6．化简：.
解： ．
评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即，由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决。
例7．已知，求下列各式的值：（1）；（2）.
解：（1）
，
∴，
又由得，∴，
所以.
（2）（法一）
，
（法二）
而
∴，
又由得，∴，
所以.
评述：（1）第（1）题注重了已知条件与所求之间的内在联系，但开方时正负的取舍容易被学生所忽视，应强调以引起学生注意；
（2）第（2）题解法一注意了第（1）小题结论的应用，显得颇为简捷，解法二注重的是与已知条件的联系，体现了对立方和公式、平方和公式的灵活运用。
指数函数
（一）复习：
1．幂的运算性质.
2．引例：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂次后，得到的细胞个数与的函数关系式是： ．
这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量作为指数，而底数2是一个大于0且不等于1的常量。
（二）讲解：
1．指数函数定义：
一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域是．
练习：判断下列函数是否为指数函数。
① ② ③（且）④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧．
2.指数函数（且）的图象：
例1．画的图象（图（1））．
解：列出的对应表，用描点法画出图象
… | -3 | -2 | -1.5 | -1 | -0.5 | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 3 | … | |
… | 0.13 | 0.25 | 0.35 | 0.5 | 0.71 | 1 | 1.4 | 2 | 2.8 | 4 | 8 | … | |
例2．画的图象（图（1））．
… | -3 | -2 | -1.5 | -1 | -0.5 | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 3 | … | |
… | 8 | 4 | 2.8 | 2 | 1.4 | 1 | 0.71 | 0.5 | 0.35 | 0.25 | 0.13 | … | |
| 指数函数定义 |
指出函数与图象间的关系？
说明：一般地， 函数与的图象关于轴对称。
3．指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：
图象 | ||
性质 | （1）定义域： | |
（2）值域： | ||
（3）过点，即时 | ||
（4）在上是增函数 | （4）在上是减函数 | |
例3． 说明下列函数的图象与指数函数的图象的关系，并画出它们的示意图：
（1）； （2）．
解：（1）比较函数与的关系：
与相等，
与相等，
与相等 ，
……
由此可以知道，将指数函数的图象向左平移1个单位长度，就得到函数的图象。
（2）比较函数与的关系：
与相等，
与相等，
与相等 ， ……
由此可以知道，将指数函数的图象向右平移2个单位长度，就得到函数的图象。
说明：一般地，当时，将函数的图象向左平移个单位得到的图象；
当时，将函数的图象向右平移个单位，得到的图象。
练习：说出下列函数图象之间的关系：
（1）与； （2）与；（3）与．
补充：1.在同一坐标系画出下列函数图象，并说出它们间的关系，并总结出一般的结论：
（1）与； （2）与．
2.说明函数图象与函数图象的关系；
3.将函数图象的左移2个单位，再下移1个单位所得函数的解析式是 ；
4.画出函数的草图。
例4．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）。
分析：通过恰当假设，将剩留量表示成经过年数的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求。
解：设这种物质量初的质量是1，经过年，剩留量是.
经过1年，剩留量=1×84%=0.841；
经过2年，剩留量=1×84%=0.842；
……
一般地，经过x年，剩留量，
根据这个函数关系式可以列表如下：
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
1 | 0.84 | 0.71 | 0.59 | 0.50 | 0.42 | 0.35 | |
用描点法画出指数函数的图象。从图上看出，只需.
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