指数函数
1．指数函数的定义：
函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R
2.指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出函数y=，y=，y=，y=的图象.
我们观察y=，y=，y=，y=图象特征，就可以得到的图象和性质。
a>1
0<a<1
图
象
性
质
(1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数
（4）在R上是减函数
  指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．
　
1．比较大小
  例1　已知函数满足，且，则与的大小关系是_____．
  分析：先求的值再比较大小，要注意的取值是否在同一单调区间内．
  解：∵，
  ∴函数的对称轴是．
  故，又，∴．
  ∴函数在上递减，在上递增．
  若，则，∴；
  若，则，∴．
  综上可得，即．
  评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对
于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．
2．求解有关指数不等式
  例2　已知，则x的取值范围是___________．
  分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．
  解：∵，
  ∴函数在上是增函数，
  ∴，解得．∴x的取值范围是．
  评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．
3．求定义域及值域问题指数函数定义
  例3　求函数的定义域和值域．
  解：由题意可得，即，
  ∴，故．  ∴函数的定义域是．
  令，则，
  又∵，∴． ∴，即．
  ∴，即．
  ∴函数的值域是．
  评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．
　4．最值问题
  例4　函数在区间上有最大值14，则a的值是_______．
  分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后的取值范围．
  解：令，则，函数可化为，其对称轴为．
  ∴当时，∵，
  ∴，即．
  ∴当时，．
  解得或（舍去）；
  当时，∵，
  ∴，即，
  ∴时，，
  解得或（舍去），∴a的值是3或．
  评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．
　5．解指数方程
  例5　解方程．
  解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或（舍去），∴，∴，经检验原方程的解是．
  评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．
  6．图象变换及应用问题
  例6　为了得到函数的图象，可以把函数的图象（  ）．
  A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度
  B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度
  C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度
  D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度
  分析：注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断．
  解：∵，∴把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数的图象，故选（C）．
  评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．
习题
1、比较下列各组数的大小：
  （1）若 ，比较 与 ；
  （2）若 ，比较 与 ；
  （3）若 ，比较 与 ；
  （4）若 ，且 ，比较a与b；
  （5）若 ，且 ，比较a与b．
  　解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数．由 ，故 ．
  （2）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．
  （3）由 ，因 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．
  （4）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样 ．又因 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾．
  （5）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样有 ．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾．

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