指数函数专题讲义
一．根式
1.根式的概念
根式的概念
符号表示
备注
如果a＝xn，那么x叫做a的n次实数方根
n>1且n∈N*
当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数
0的n次实数方根是0
当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数
±
负数没有偶次方根
2.两个重要公式
①＝(n为偶数)；
②()n＝a(注意a必须使有意义)．
二．有理指数幂
(1)分数指数幂的表示
①正数的正分数指数幂是＝(a>0，m，n∈N*，n>1)；
②正数的负分数指数幂是＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)；
③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．
(2)有理指数幂的运算性质
①asat＝as＋t(a>0，t，s∈Q)；
②(as)t＝ast(a>0，t，s∈Q)；
③(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)．
三．指数函数的图象与性质
（1）指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R.
（2）指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)
当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1
当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
考向一  指数运算
例1　(1)计算：－0＋＋16－0.75＋|－0.01|；
(2)化简： ÷(a＞0).
(3)已知＝3，求下列各式的值．
①a＋a－1；②a2＋a－2；③
[玩转跟踪]
1.计算下列各式的值：
(1)(0.027)－＋256＋(2)－3－1＋π0；
(2)(a·b)·÷(a＞0，b＞0).
2.已知x＋y＝12，xy＝9且x<y，求的值．
考向二 指数函数的图像
【例2】函数的图像可能是（    ）．
A．    B．    C．    D．
【例3】若函数的图像在第一、三、四象限内，则（    ）
A．    B．，且
C．，且    D．
【例4】已知函数 ，则的图象过定点（  ）
A．    B．    C．    D．
【套路总结】
形如指数型函数求定点：①求x，令f(x)=0求解x;②求y=A+B
[玩转跟踪]
1．在如图所示的图象中，二次函数与函数的图象可能是（    ）
A．B．C．    D．
2．若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是___________
3．若函数，且的图象恒过点，则 
A．3    B．1    C．    D．
考向三 指数函数性质
1.指数函数的单调性
【例5】函数的单调递增区间为（  ）
A．    B．    C．    D．
【套路总结】
指数函数单调性的判断
1.根据指数的底数a进行判断，0<a<1为减函数，a>1为增函数
2.指数型函数的单调性根据复合函数“同增异减”
3.求单调区间必须先求定义域
【玩转跟踪】
1.函数的单调递增区间是（  ）
A．    B．    C．    D．
2.函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是________．
2.指数函数的定义域和值域
【例6】（1）函数的定义域为_______．
（2）设函数f（x）=，则函数f（）的定义域为    。
（3）函数的值域为          。
（4）函数f（x）=值域为      。
【玩转跟踪】
1．函数的值域为____________．
2．函数的值域为______．
3. 比较大小
【例7】设，则的大小关系是
A．    B．    C．  D．
【玩转跟踪】
1.已知，，，则（  ）
A．    B．  C．  D．
2．的大小关系是（  ）
A．    B．
C．    D．
3．已知，，，则（  ）
A．    B．    C．    D．
【套路总结】
一．比较大小常用的方法
1.利用单调性比较大小
2.与特殊值比较大小
3.构造新函数，分别与新函数比较大小
二．比较指数式的大小的方法是：
(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.
（3）在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论
考向四 指数函数综合应用
例8　已知函数f(x)＝.
(1)证明f(指数函数定义x)为奇函数.
(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明.
(3)求f(x)的值域.
例9　已知函数
写出该函数的单调区间
若函数恰有3个不同零点，求实数m的取值范围
若对所有恒成立，求实数n的取值范围。
[玩转跟踪]
1.设a＞0，f(x)＝＋是R上的偶函数.
(1)求a的值；
(2)求证f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
反馈练习
1．函数是指数函数，则          。
2．在同一坐标系中，函数y=ax+a与y=ax的图象大致是    。
A．    B．  C．    D．
3．函数y＝的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为          。 
4．函数的值域是    。

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