4.2指数函数概念、图象及性质 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本单元包括指数函数概念、图象和性质,它们是中学数学中的重要内容.本单元共2课时,第1课时的主要内容是指数函数的概念,第2课时的主要内容是指数函数的图象和性质.也可以两课时合在一起讲完.
2.内容解析
本单元是在函数的概念和性质、幂函数、指数及其运算性质的基础上,进一步研究指数函数的概念、图象和性质.指数函数作为基本初等函数之一,是函数内容的重要组成部分;是对数函数,等比数列,概率统计,导数等高中数学内容的基础,其思想方法与其他数学内容含有紧密的联系,同时作为重要的函数模型还有广泛的应用,又是分析和解决大量数学问题和实际问题的重要工具.
指数函数是一类具体的函数,有了研究幂函数的经验,便可以按研究一个函数的基本方法去研究指数函数的主要内容,指数函数的概念体现了,指数函数变量间对应关系的本质.图象和性质则是在概念基础上进一步研究其变化规律,应该从概念出发认识图象和性质,并结合图象和性质进一步理解概念.
指数函数是刻画呈指数增长或衰减变化规律的函数模型,其概念的教学应该在函数概念的基础上,重点揭示指数增长或衰减的规律.
指数函数是指形如函数,当时,函数以指数增长,当时,函数以指数衰减.对于指数函数图象和性质的研究,应从函数 出发,通过取不同值时函数的图象直观的体现指数函数的变化规律;然后在大量具体图象的基础上归纳其共同特征,并选择有代表性的图象反映这样的特征,说明函数的定义域、值域、特殊点、单调性.由函数的图象能体现函数的性质,而有函数的性质也能确定函数的图象特征.教学应突出这些数形结合的思想,并通过解析式图象性质,多元联系的认识指数函数本质和函数模型的特征.根据上述分析,确定本单元的教学重点为指数函数的概念、图象和性质.
二、目标和目标解析
1.目标
(1)通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.
(2)能用描点法或借助信息技术画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
(3)结合指数函数概念、图象与性质的研究,进一步体会研究具体函数的一般思路和方法,提升数学抽象、直观想象素养.
2.目标解析
达成上述目标的标志:
(1)能结合问题1和问题2,发现其具体的增长和衰减的规律,并从中体会实际问题中变量间的关系.在了解指数函数的实际意义的基础上,知道指数函数的含义和表示,清楚其定义域和底数的取值范围.
(2)能根据函数解析式或利用计算工具计算出指数函数的两个变量的一些对应值并列表,然后描点或利用信息技术画出指数函数的图象,或能根据函数解析式直接利用信息技术画出指数函数的图象;结合函数图象,归纳出这些图象的共同特征,探索并总结指数函数的单调性与特殊点,并结合函数解析式验证所总结的函数单调性和特殊点.
(3)结合指数函数的教学,体会“概念-图象-性质”的研究具体函数的一般思路;在由具体实例抽象为具体函数、再由具体函数概括为指数函数的过程,提升数学抽象素养;结合由函数图象直观认识函数性质的过程,体会数形结合的思想方法,提升直观想象素养.
三、教学问题分析
本单元中由具体实例抽象出指数函数的概念,能根据问题1和问题2得到两个解析式,概括出统一的函数关系式 .这些对学生的思维能力要求较高.教学中,教师要给学生探索和发现的机会,并给予学生恰当的指导.
要从不同具体问题得到的解析式概括出 的形式.教学中要引导学生利用信息技术,从指数幂的意义、函数的对应关系和图象出发,结合实例理解指数函数底数的取值范围;在指数函数性质的学习过程中,教师可引导学生利用信息技术进行探索,并且通过画出底数取得大量不同值时的图象,发现并归纳函数的单调性;在探索的基础上将大量所作的图象分为增长和衰减两类,利用信息技术研究两类函数值得变化,从而归纳出 时函数的单调递增,时函数单调递减.
本单元的教学难点是用“增长率”刻画变化规律,以及指数函数单调性的抽象概括.
四、教学过程设计
(一)创设情境,引入课题
问题1: 随着中国经济高速增长,人民生活水平不断提高,旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数的不断增长,A,B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施,A地提高了景区门票价格,而B地则取消了景区门票.下表(见P111页表4.2-1)是A,B两地景区自2002年至2015年的游客人次的逐年增加量.
比较两地景区游客人次的变化情况,你发现了怎样的变化规律?
追问:(1)能否作出A,B两地景区游客人次变化的图象,根据图象并结合年增加量,说明两地景区游客人次的变化情况?
(2)我们发现,用“增加量”不能刻画B地景区人次的变化规律.能不能换一个量来刻画? 例如用“增长率”,即从2020年起,将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次,看看能否发现规律?
(3)能否求出B地景区游客人次随时间(经过的年数)变化的函数解析式,并根据解析式说明B地景区游客人次的变化情况?
师生互动:教师给出问题,并通过追问引导学生对问题进行分析.首先通过画出图象直观感受A,B两地景区游客增长的情况;为进一步刻画和比较两地游客人次的变化规律,需要通过对相邻两年游客人次进行运算,得到B地景区游客人次年增长率为常数,进而将其用函数来描述.
设计意图:通过寻求A,B两地景区游客人次增加的规律,引出用函数刻画指数增长的问题,
为抽象出指数函数做准备.
问题2:当生物死亡后,它机体内原有的碳14含量会按确定的衰减比率(简称为衰减率)衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律,生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系?
追问:能否求出生物体内碳14含量随死亡年数变化的函数解析式?
师生互动:教师提出问题,并让学生类比问题1对提出的问题进行思考.通过对问题的分析,引导学生用函数 刻画碳14衰减的规律.
设计意图:通过描述碳14衰减的规律,引导用函数刻画指数衰减的问题,为抽象得到指数函数做准备.
问题3:比较问题1,2中的两个实例:B地景区游客人次增长的解析式与碳14衰减的解析式 有什么共同特征?
师生活动:教师引导学生从解析式上来看,如果用字母代替底数1.11和那么上述函数和就都可以表示为的形式,其中指数x是自变量,底数是一个大于0且不等于1的常量.从而引出指数函数的概念.
设计意图:通过分析、比较两个实例,概括它们的共同特征,从而得到指数函数概念的本质属性,得出指数函数的概念.
(二)抽象思维,形成概念
1.指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
例1 已知指数函数 且 ,求,,的值.
师生活动:教师引导学生,要求出,,的值,应先求出的解析式,即先求出的值.而已知,可由此求出的值.
设计意图:通过求函数解析式,并根据解析式求不同的函数值,从指数函数的对应关系和变化规律的角度理解指数函数的概念.
问题指数函数定义4:在上一章学习中,我们主要学习了函数的哪些性质?
师生活动:学生回顾,教师补充.
设计意图:为接下来要研究指数函数的图象及性质过渡.
(三)图象探究,归纳性质
问题5: 在同一直角坐标系里分别画出下列两组函数图象,观察函数图象,说出函数有哪些性质特征,有什么共同点和不同点?
(1)函数 和的图象.
(2)函数和y=x的图象.
师生活动:教师引导学生观察并分析以上两组函数图象的特征,以及共同点与不同点.
设计意图:通过引导学生分别完成两类指数函数图象的探究,感知指数函数图象的变化趋势,因底数的不同分为两类.
问题7: 猜想,的函数图象的变化趋势 ? 并用软件画出相应图象,进行验证.
师生活动:在直角坐标系中用软件演示画图,验证猜想.
设计意图:让学生再次感知,两类指数函数图象的变化趋势,为归纳指数函数的性质做好充分准备.
问题8:指数函数的图象大致分为几类 ? 请学生填写下表(教材p117表4.2-3)(幻灯展示).
师生活动:学生独立思考,填写表4.2-3,教师评价补充.
设计意图:通过以上指数函数图象的直观分析,由学生归纳总结,培养学生的抽象概括能力.
问题9:在同一直角坐标系中,观察函数和函数 的图象有什么关系?
师生活动:学生(或教师)在同一直角坐标系中画出以上两个函数的图象,幻灯展示以上两个函数的图象,学生回答.
发现:底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.
追问:有了对称性,能用来干什么呢?
师生活动:学生思考回答,根据这种对称性,就可以利用一个函数的图象,画出另一个函数的图象.
设计意图:由学生分析并归纳,两个底数互为倒数的指数函数图象关于y轴对称,教师给予证明,培养学生数学学习的严谨性.
(四)典例分析
例2 比较下列各题中两个值的大小:
(1) ,;
(2) ,;
(3) ,.
师生活动:学生思考,教师引导学生利用指数函数图象及单调性判断大小关系.
设计意图:熟悉指数函数的图象及单调性.
(五)单元小结、布置作业
教师引导学生回顾本单元所学知识,并引导学生回答下面的问题:
(1)指数函数的概念.
(2)指数函数的图象及性质.
设计意图:梳理、总结、归纳提炼本单元的核心内容和方法.
布置作业:教科书p118习题4.2第3,5,6题.
六、目标检测设计
1.设指数函数的底数为,如果,,那么________.
设计意图:考查学生对指数函数概念的理解.
2.比较下列各题中两个数的大小:
(1), (2) , (3) ,
设计意图:检测学生是否掌握指数函数图象特征,是否会利用指数函数图象及单调性比较大小.
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