新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册学案：4.2.1指数函数的概念含解析
4.2指数函数
4．2.1指数函数的概念
[目标] 1。能说出指数函数的定义；2。记住指数函数的图象与性质；3.会用指数函数的图象与性质解答有关问题．
[重点] 指数函数的概念、图象、性质．
[难点] 指数函数性质的概括总结．
知识点一指数函数的概念
[填一填］
一般地，函数y＝a x(a〉0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
［答一答]
1．下列函数是指数函数吗？
①y＝3x＋1;②y＝3x＋1；③y＝3×2x；④y＝5x＋2－2.
提示：它们都不满足指数函数的定义，所以都不是指数函数．2．指数函数定义中为什么规定a〉0且a≠1？
提示:①如果a＝0，当x>0时,a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义．
②如果a〈0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝错误!，错误!，…，在实数范围内的函数值不存在．
③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，无研究的必要．
为了避免上述各种情况，所以规定a〉0且a≠1.
知识点二指数函数的图象和性质
[填一填]
［答一答]
3．观察同一直角坐标系中函数y＝2x，y＝3x，y＝4x，y＝(错误!）x，y＝(错误!）x，y＝(错误!）x的图象如图所示，能得到什么规律？
提示：（1)当a>1时,a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快．
（2）当0<a〈1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快．
(3)底数互为倒数时，图象关于y轴对称，即y＝a x与y＝错误!x 图象关于y轴对称．
4．怎样快速画出指数函数y＝a x（a〉0，且a≠1）的图象？
提示：由指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝a x(a〉0，且a≠1）的图象恒过点(0，1）,(1，a),(－1，错误!），只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝a x(a〉0，且a≠1)的图象．
类型一指数函数的概念
[例1］（1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是（）
A．y＝(－4）x B．y＝πx
C．y＝－4x D．y＝a x＋2(a>0,a≠1)
（2)若y＝（a2－3a＋3）a x是指数函数，则(）
A ．a ＝1或2
B ．a ＝1
C ．a ＝2
D ．a >0且a ≠1 (3)已知函数f (x )为指数函数，且f 错误!＝错误!，则f (－2)＝
________。 [分析] (1）（2）利用指数函数的定义;(3)设f (x ）＝a x ，采用待定系数法．
［解析］ (1）由指数函数的定义可知，只有B 符合定义．
（2）由y ＝(a 2－3a ＋3）·a x 是指数函数，
∴错误!∴a ＝2.选C.
(3)设f （x ）＝a x （a >0且a ≠1），
由f 错误!＝错误!，得a －错误!＝错误!＝3－错误!,
∴a ＝3，∴f （x )＝3x ，
∴f （－2）＝3－2＝错误!，故填错误!。
[答案] （1）B  （2）C  （3）19
1一个函数是指数函数，需满足三个条件：
①底数大于0且不等于1。
②幂指数是单一的自变量x .
③系数为1，且没有其他项.
2已知某函数是指数函数求参数值的步骤:
①依据指数函数形式列方程：令底数大于0且不等于1，系数等于1列出不等式与方程。
②求参数值：解不等式与方程求出参数的值。
［变式训练1] (1）已知指数函数图象经过点P (－1，3)，则f
（3)＝错误!。
（2）已知函数f（x）＝(a2－2a＋2）(a＋1）x为指数函数，则a＝1.
解析：（1)设指数函数为f(x)＝a x（a>0且a≠1)，由题意得a－1＝3，解得a＝错误!，所以f（x)＝错误!x，故f（3)＝错误!3＝错误!.
(2）函数f（x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，
∴错误!解得a＝1.
类型二指数函数的图象
命题视角1：指数函数的底与其图象的关系
［例2]如图是指数函数①y＝a x,②y＝b x,③y＝c x,④y＝d x的图象，则a,b,c，d与1的大小关系为(）
A．a<b〈1<c〈d
B．b〈a〈1<d<c
C．1〈a〈b〈c<d
D．a<b〈1<d<c
［解析］
指数函数定义

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