指数与指数函数讲义
一、知识梳理
1．分数指数幂
(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定＝(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0<a<1
图象
定义域
(1)R
值域
(2)(0，＋∞)
性质
(3)过定点(0,1)
(4)当x>0时，y>1；当x指数函数定义<0时，0<y<1
(5)当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数
(7)在(－∞，＋∞)上是减函数
注意：1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．
3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．
二、基础检验
题组一：思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)＝()n＝a(n∈N*)．(  )
(2)分数指数幂可以理解为个a相乘．(  )
(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(  )
(4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.(  )
(5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(  )
题组二：教材改编
2．[]化简(x＜0，y＜0)＝________.
3．]若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝________.
4．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
题组三：易错自纠
5．计算：×＋×－ ＝________.
6．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．
7．已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．
三、典型例题
题型一：指数幂的运算
1．计算：＋－10(－2)－1＋π0＝________.
2．化简：＝________.( a>0)
思维升华：(1)指数幂的运算首先将根式，分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加；
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
题型二：指数函数的图象及应用
典例 (1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(  )
(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中，一定成立的是(  )
A．a＜0，b＜0，c＜0      B．a＜0，b≥0，c＞0
C．2－a＜2c     D．2a＋2c＜2
思维升华：(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
跟踪训练 (1)已知实数a，b满足等式2 018a＝2 019b，下列五个关系式：
①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有(  )
A．1个      B．2个
C．3个      D．4个
(2)方程2x＝2－x的解的个数是________．
题型三：指数函数的性质及应用
命题点1：指数函数单调性的应用
典例 (1)已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，则f(a)，f(b)的大小关系是________．
命题点2：与指数函数有关的复合函数的单调性
典例 (1)已知函数f(x)＝(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________；
(2)函数f(x)＝的单调减区间为____________．
(3)函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是________．
命题点3：指数函数性质的综合应用
典例 已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
思维升华：(1)利用指数函数的函数性质比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域，单调区间，最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
跟踪训练(1)函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是(  )
A．f(bx)≤f(cx)      B．f(bx)≥f(cx)
C．f(bx)＞f(cx)      D．与x有关，不确定
四、反馈练习
1．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(  )
A．a>1，b<0          B．a>1，b>0          C．0<a<1，b>0          D．0<a<1，b<0
2．设2x＝8y＋1 ,9y＝3x－9，则x＋y的值为(  )
A．18               B．21               C．24                 D．27
3．(2017·河南南阳、信阳等六市一模)已知a，b∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x＞0时，1＜bx＜ax，则(  )
A．0＜b＜a＜1      B．0＜a＜b＜1
C．1＜b＜a      D．1＜a＜b
4．设a＝log2，b＝，c＝ln π，则(  )
A．c<a<b      B．a<c<b
C．a<b<c      D．b＜a＜c
5．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为(  )
A．[9,81]      B．[3,9]
C．[1,9]      D．[1，＋∞)
6．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是       
7．若“m＞a”是“函数f(x)＝＋m－的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为________．
8．不等式>的解集为________．
9．若直线y1＝2a与函数y2＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_____．
10．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
11．已知max(a，b)表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________．
12．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)的表达式；
(2)若不等式＋－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
13．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数且当x≥0时，f(x)＝－＋，则此函数的值域为________．
14．已知函数f(x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是________．
15．若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
16．已知函数f(x)＝－＋3(－1≤x≤2)．
(1)若λ＝，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)的最小值是1，求实数λ的值．

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