第四章 指数函数与对数函数
4.1.1根式
要点整理
1．根式的概念
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示．
(2)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，记为±，负数没有偶次方根．
(3)0的任何次方根都是0，记作＝0.
式子叫做根式，其中n(n>1，且n∈N*)叫做根指数，a叫做被开方数．
2．根式的性质
根据n次方根的意义，可以得到：
(1)()n＝a.
(2)当n是奇数时，＝a；当n是偶数时，＝|a|＝
温馨提示：()n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而()中a∈R.
题型一根式的意义
【典例1】　下列说法正确的个数是(  )
①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．
A．1    B．2
C．3    D．4
(2)已知m10＝2，则m等于(  )
A.    B．－
C.    D．±
[思路导引]　利用n次方根的概念求解．
[解析]　(1)①16的4次方根应是±2；②＝2，所以正确的应为③④.
(2)∵m10＝2，∴m是2的10次方根．
∴m＝±.
[答案]　(1)B　(2)D
n(n>1)次方根的个数及符号的确定
(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个．
(2)根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定：
①当n为偶数时，为非负实数；
②当n为奇数时，的符号与a的符号一致．
题型二简单根式的化简与求值
【典例2】　化简下列各式：
(1) ；(2) ；(3) ；
(4) .
[思路导引]　利用的性质进行化简．
[解]　(1) ＝－2.
(2) ＝|－10|＝10.
(3) ＝指数函数定义＝3.
(4) ＝|a－b|＝
根式的化简求值注意以下2点
(1)首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
题型三有限制条件的根式化简
【典例3】　设x∈[1,2]，化简()4＋.
[思路导引]　借助根式的性质去掉根号并化简．
[解]　()4＋
＝()4＋
∵1≤x≤2，∴x－1≥0，x－2≤0.
∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝(x－1)＋(2－x)＝1.
[变式]　若本例中的“x∈[1,2]”改为“x∈[2,3]”，其他条件不变，化简求值．
[解]　()4＋＝()4＋
∵2≤x≤3，∴x－1>0，x－2≥0，
∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3.
有限制条件根式的化简策略
(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．
(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
4.1.2指数幂及其运算
要点整理
1．分数指数幂的意义
温馨提示：(1)分数指数幂a不可以理解为个a相乘．
(2)对于正分数指数幂，规定其底数是正数．
2．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

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