时域和频域变换之---傅⾥叶级数的数学推导
  废话不多说先列提纲：
  0.概述-需求分析-功能描述-受限和缺点改进+知识点预备
  1.泰勒级数和傅⾥叶级数的本质区别，泰勒展开
  2.  函数投影和向量正交
  3.两个不变函数求导是本⾝e^x,sinx,cosx也是为什么要傅⾥叶转换的原因！
  4.傅⾥叶技术推到过程
  5.附录参考资料
  0.有些时候，尤其是在图像处理中，矩阵运算数据量太⼤，特征提取量多，此时可以通过时域转频域来减少计算量，⽽且此转换不会损失数据完整性。
时域转频域的⽅法有周期函数⽤傅⾥叶技术，⾮周期函数（没有间断点的函数）⽤傅⾥叶转换，类似于直⽅图的分析。
两⾓和公式
  tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
  tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
  cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
  cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
  sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
  sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ
  sinαsinβ =-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2
  cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2
  sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2
  cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2
  正弦
  sin2A=2sinA·cosA
  余弦
  1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)
  2.Cos2a=1-2Sin^2(a)
  3.Cos2a=2Cos^2(a)-1
  即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)
  tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）
平⽅关系：
  sin^2(α)+cos^2(α)=1
  1+tan^2(α)=sec^2(α)
  1+cot^2(α)=csc^2(α)
平常针对不同条件的常⽤的两个公式
  sin^2(α)+cos^2(α)=1
  tan α *cot α=1
  （1）.
  泰勒级数是求导函数组成的变化特征函数和；反应变化剧烈程度
  傅⾥叶级数是频谱叠加的三⾓函数和；反应变化频率本质属性
  （2）.
  从⼏何的⾓度来看。傅⾥叶告诉我们，f(x) 可以⽤下⾯这组由⽆限多个三⾓函数（包括常数）组成的“正交基”来展开，
傅里叶变换公式证明
  傅⾥叶级数展开其实只是在做⼀个动作，那就是把函数“投影”到⼀系列由三⾓函数构成的“坐标轴”上。
  （3）.
  正弦和余弦是⼆阶偏微分⽅程（含有电容等元件的⽅程），⽽电容是可以隔直流通交流的
  （4）.
  ⾸先，隆重推出傅⾥叶级数的公式，不过这个东西属于“⽂物”级别的，诞⽣于19世纪初，因为傅⾥叶他⽼⼈家⽣于1768年，死于1830年。
  但傅⾥叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着⼴泛的应⽤，这不由得让⼈肃然起敬。⼀打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出⼀个“傅⾥叶级数”或“傅⾥叶变换”，弄⼀长串公式，让⼈云⼭雾罩。
  如下就是傅⾥叶级数的公式：
  不客⽓地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——⼜臭⼜长”，⽽且来历相当蹊跷，不知那个傅⾥叶什么时候灵光乍现，把⼀个周期函数f(t)硬⽣⽣地写成这么⼀⼤堆东西。单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成⼀个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函
数等⼀系列式⼦的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，⾄于这些系数，需要⽤积分来解得，即②③④式，不过为了积分⽅便，积分区间⼀般设为[-π, π]，也相当⼀个周期T的宽度。
  能否从数学的⾓度推导出此公式，以使傅⾥叶级数来得明⽩些，让我等能了解它的前世今⽣呢？下⾯来详细解释⼀下此公式的得出过程：
１、把⼀个周期函数表⽰成三⾓级数：
  ⾸先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、⽆线电电⼦振荡器的电⼦振荡等，⼤多可以表述为：
  f(x)=A sin(ωt+ψ)
  这⾥t表⽰时间，A表⽰振幅，ω为⾓频率，ψ为初相（与考察时设置原点位置有关）。
  然⽽，世界上许多周期信号并⾮正弦函数那么简单，如⽅波、三⾓波等。傅叶⾥就想，能否⽤⼀系列的三⾓函数An sin(nωt+ψ)之和来表⽰那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。于是，傅⾥叶写出下式：（关于傅⾥叶推导纯属猜想）
  这⾥，t是变量，其他都是常数。与上⾯最简单的正弦周期函数相⽐，5式中多了⼀个n，且n从1到⽆穷
⼤。这⾥f(t)是已知函数，也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看，傅⾥叶是想把⼀个周期函数表⽰成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或说是频率（是原周期函数的整数倍，即n）、有不同的初相⾓（即ψ），当然还有⼀项常数项（即
A0）。要命的是，这个n是从1到⽆穷⼤，也就是是⼀个⽆穷级数。
应该说，傅⾥叶是⼀个天才，想得那么复杂。⼀般⼈不太会把⼀个简单的周期函数弄成这么⼀个复杂的表⽰式。但傅⾥叶认为，式⼦右边⼀⼤堆的函数，其实都是最简单的正弦函数，有利于后续的分析和计算。当然，这个式能否成⽴，关键是级数中的每⼀项都有⼀个未知系数，如A0、An等，如果能把这些系数求出来，那么5式就可以成⽴。当然在5式中，唯⼀已知的就是原周期函数f(t)，那么只需⽤已知函数f(t)来表达出各项系数，上式就可以成⽴，也能计算了。
于是乎，傅⾥叶⾸先对式5作如下变形：
  这样，公式５就可以写成如下公式６的形式：
  这个公式６就是通常形式的三⾓级数，接下来的任务就是要把各项系数an和bn及a0⽤已知函数f(t)来表达出来。
２、三⾓函数的正交性：
  这是为下⼀步傅⾥叶级数展开时所⽤积分的准备知识。⼀个三⾓函数系：1，cosx , sinx , cos2x , sin2x , … , cosnx , sinnx , … 如果这⼀堆函数（包括常数1）中任何两个不同函数的乘积在区间[-π, π]上的积分等于零，就说三⾓函数系在区间[-π, π]上正交，即有如下式⼦：
  以上各式在区间[-π, π]的定积分均为0，第１第２式可视为三⾓函数cos和sin与１相乘的积分；第3-5式则为sin和cos的不同组合相乘的积分式。除了这5个式⼦外，不可能再有其他的组合了。注意，第4第5两个式中，k不能等于n，否则就不属于“三⾓函数系中任意两个不同函数”的定义了，变成同⼀函数的平⽅了。但第3式中，k与n可以相等，相等时也是⼆个不同函数。下⾯通过计算第4式的定积分来验证其正确性，第4式中⼆函数相乘可以写成：
可见在指定[-π, π]的区间⾥，该式的定积分为0。其他式也可逐⼀验证。
３、函数展开成傅⾥叶级数：
  先把傅⾥叶级数表⽰为下式，即⑥式：
  对⑥式从[-π, π]积分，得：
  这就求得了第⼀个系数a0的表达式，即最上边傅⾥叶级数公式⾥的②式。接下来再求an和bn的表达式。⽤cos(kωt)乘⑥式的⼆边得：
  ⾄此，已经求得傅⾥叶级数中各系数的表达式，只要这些积分都存在，那么⑥式等号右侧所表⽰的傅⾥叶级数就能⽤来表达原函数f(t)。上述过程就是整个傅⾥叶级数的推导过程。事实上，如果能够写出⑥式，不难求出各个系数的表达式，关键是⼈们不会想到⼀个周期函数竟然可以⽤⼀些简单的正弦或余弦函数来表达，且这个表达式是⼀个⽆穷级数。这当然就是数学家傅⾥叶的天才之作了，我等只有拼命理解的份了。
综上，傅⾥叶级数的产⽣过程可以分为以下三步：
1、设想可以把⼀个周期函数f(t)通过最简单的⼀系列正弦函数来表⽰，即5式；
2、通过变形后⽤三⾓级数（含sin和cos）来表⽰；
3、通过积分，把各未知系数⽤f(t)的积分式来表达；
4、最后得到的4个表达式就是傅⾥叶级数公式。
  在电⼦学中，傅⾥叶级数是⼀种频域分析⼯具，可以理解成⼀种复杂的周期波分解成直流项、基波（⾓频率为ω）和各次谐波（⾓频率为nω）的和，也就是级数中的各项。⼀般，随着n的增⼤，各次谐波的能量逐渐衰减，所以⼀般从级数中取前n项之和就可以很好接近原周期波形。这是傅⾥叶级数在电⼦学分析中的重要应⽤。
当然还有⼀疑问就是关于周期的取值l和t的不同，有的地⽅是w=l/2，有的就直接是w=an
：
0.傅⾥叶就是吧f（x）划分成不同频率三⾓函数的和
1.⽤内积法分解出每⼀个分量的系数
2.接地⽓的计算系数
  在⾼数课本中是如上所求，但在《信号与系统》⼀书中傅⾥叶变换⼀节中直流分量为A/2，但其中对A和B的求解公式是⼀样的，这是怎么回事？所求结果肯定是不同的，
  （5）.
  ；
  （⼏何公式）
  （投影+正交）
  （泰勒公式）
  （泰勒级数）
  （⾮正弦周期的傅⾥叶级数）

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