课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--习题
    数字信号处理 第三版
    第3章 离散傅里叶变换(DFT)
    习题
    1． 计算以下序列的N点DFT， 在变换区间0≤n≤N－1内， 序列定义为
    (1) x(n)=1
    (2) x(n)=δ(n)
    (3) x(n)=δ(n－n0) 0n0N
    (4) x(n)=Rm(n) 0mN
    (5) n ) jNmn  N  x(=e,0 m
    π  2 (6) n ) x(=cos mn ,0mN2π
    (7) x(n)=ejω0nRN(n)
    (8) x(n)=sin(ω0n)RN(n)
    (9) x(n)=cos(ω0n)RN(N)
    (10) x(n)=nRN(n)
    2． 已知下列X(k)， 求x(n)=IDFT［X(k)］
    Njθ 2e N（1）X (k)= e jθ
    2
    0 N k=m k=N m其它k
    Njθ j2e N jθ（2）X (k)= je 2 0 k=m k=N m 其它k
    其中， m为正整数， 0mN/2, N为变换区间长度。
    3． 已知长度为N=10的两个有限长序列：
    做图表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)， 循环卷积区间长度L=10。
    ， 4． 证明DFT的对称定理， 即假设X(k)=DFT［x(n)］
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    证明 DFT［X(n)］=Nx(N－k)
    5． 如果X(k)=DFT［x(n)］， 证明DFT的初值定理
    1x(0)=N∑X(k)
    k=0N 1
    6． 设x(n)的长度为N， 且
    X(k)=DFT［x(n)］ 0≤k≤N－1
    令
    h(n)=x((n))NRmN(n) m为自然数
    H(k)=DFT［h(n)］mN 0≤k≤mN－1
    求H(k)与X(k)的关系式。
    7． 证明: 若x(n)为实序列， X(k)=DFT［x(n)］N，则X(k)为共轭对称序列， 即X(k)=__（N－k)； 若x(n)实偶对称， 即x(n)=x(N－n)， 则X(k)也实偶对称； 若x(n)实奇对称， 即x(n)=－x(N－n)， 则X(k)为纯虚函数并奇对称。
    8． 证明频域循环移位性质： 设X(k)=DFT［x(n)］， Y(k)=DFT［y(n)］， 如果
    lnY(k)=X((k+l))NRN(k)， 则 y(n)=IDFT[Y(k)]=WNx(n)
    9． 已知x(n)长度为N， X(k)=DFT［x(n)］，
    mN-1
    求Y(k)与X(k)的关系式。
    10． 证明离散相关定理。 若X(k)=X1* (k)Ｘ2(k)
    则
    __(n)=IDFT[X(k)]=∑x1(l)x2((l+n))NRN(n)
    l=0N 1
    11． 证明离散帕塞瓦尔定理。 若X(k)=DFT［x(n)］， 则
    1N 1|x(n)|=∑|X(k)|2∑Nk 0n=02N 1
    12． 已知f(n)=x(n)+jy(n)， x(n)与y(n)均为长度为N的实序列。 设
    F(k)=DFT［f(n)］N 0≤k≤N－1
    N（1） F(k)=1 a+j1 bN
    kk1 aWN1 bWNa,b为实数
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    （2） F(k)=1+jN
    试求X(k)=DFT［x(n)］N，Y(k)=DFT［y(n)］N以及x(n)和y(n)。
    13．已知序列x(n)=anu(n)， 0a1, 对x(n)的Z变换X(z)在单位圆上等间隔采样
    N点， 采样序列为
    X(k)=X(z)|z=ej2πk/Nk=0,1,L,N 1
傅里叶变换公式证明
    求有限长序列IDFT［X(k)］N。
    14．两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为
    x(n)=0 n0, 8≤n
    y(n)=0 n0, 20≤n
    对每个序列作20点DFT， 即
    X(k)=DFT［x(n)］ k=0, 1, 。, 19
    Y(k)=DFT［y(n)］ k=0, 1, 。, 19
    试问在哪些点上f(n)与x(n)*y(n)值相等，为什么？
    15．已知实序列x(n)的8点DFT的前5个值为0.25，0.125-j0.3018，0，
    0.125-j0.0518，0。
    （1） 求X(k)的其余3点的值；
    （2） x 1 ( n ) = x ( n + 5 + 8 m ) R 8 ( n ) ，求X1(k)=DFT［x1(n)］8
    m= ∞ ∑+∞
    jπn/4（3） x 2 ( n ) = x ( n )e ，求 X2(k)=DFT[x2(n)]8
    16．x(n)、x1(n)和x2(n)分别如题16图(a)、(b)和(c)所示，已知X(k)=DFT[x(n)]8。
    X2(k)=DFT[x2(n)]8求 X 1 ( k ) = DFT[ x 1 ( n )] 8 和
    ［注: 用X(k)表示X1(k)和X2(k)。］
    17． 设x(n)是长度为N的因果序列， 且 X(ejω)=FT[x(n)]
    ∞ y(n)= x(n+mM) RM(n) m= ∞ ∑Y(k)=DFT[y(n)]M
    试确定Y(k)与X(ejω)的关系式。
    18． 用微处理机对实数序列作谱分析， 要求谱分辨率F≤50 Hz， 信号最高频率为 1 kHz， 试确定以下各参数：
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    (1) 最小记录时间Tp min；
    (2) 最大取样间隔Tmax；
    (3) 最少采样点数Nmin；
    (4) 在频带宽度不变的情况下， 使频率分辨率提高1倍（即F缩小一半）的N值。

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