抽样定理的证明与实际应用
                            假人    14年5月
摘要：通过实验观测了抽样信号fs(t)的频谱，研究了频谱的特点。为了能够从抽样信号fs(t)中无失真地重建原信号f(t)而不致于产生混叠现象,采用了提高抽样频率的方法,使得滤波器的输出端只有所需要的信号频谱F(ω),从而进一步验证了著名的“抽样定理”。
关键字：抽样定理  离散频谱  有源低通滤波器
一、抽样的概念
    所谓抽样。就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T抽取一个瞬时幅度值（样值） ，抽样是由抽样门完成的。在一个频带限制在（0，fh）内的时间连续信号f（t），如果以小于等于1/(2fh)的时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。或者说，如果一个连续信号f（t）的频谱中最高频率不超过fh，这种信号必定是个周期性的信号，当抽样频率fs≥2 fh时，抽样后的信号就包含原连续信号的全部信息，而不会有信息丢失，当需要时，可以根据这些抽样信号的样本来还原原来的连续信号。根据这一特性，可以完成信号的模-数转换
和数-模转换过程。
二、验证方法
本次设计应用MATLAB验证时域采样定理。了解MATLAB软件，学习应用MATLAB软件的仿真技术。它主要侧重于某些理论知识的灵活运用，以及一些关键命令的掌握，理解，分析等。初步掌握线性系统的设计方法，培养独立工作能力。 加深理解时域采样定理的概念，掌握利用MATLAB分析系统频率响应的方法和掌握利用MATLAB实现连续信号采样、频谱分析和采样信号恢复的方法。计算在临界采样、过采样、欠采样三种不同条件下恢复信号的误差，并由此总结采样频率对信号恢复产生误差的影响，从而验证时域采样定理。 MATLAB是一套功能十分强大的工程计算及数据分析软件，广泛应用于各行各业。MATLAB是矩阵实验室之意。除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。 MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学,工程中常用的形式十分相似,故用MATLAB来解算问题要比用C语言和FORTRAN等语言完全相同的事情简捷得多.在新的版本中也加入了对C，c++，FORTRAN，JAVA的支持。可以直接调用，用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用。
三、验证实验的基本原理
（1）时域采样定理
1、对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的。 
2、设连续信号的的最高频率为maxF，如果采样频率max2FFs ，那么采样信号可以唯一的恢复出原连续信号，否则max2FFs 会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。
（2）设计原理图
四、实验步骤
    1、画出连续时间信号的时域波形及其幅频特性曲线，信号为 
傅里叶变换公式证明f(x)= sin(2*pi*60*t)+cos(2*pi*25*t)+cos(2*pi*30*t)； 
    2、 对信号进行采样，得到采样序列 ，画出采样频率分别为80Hz，120 Hz，150 Hz时的采样序列波形； 
    3、对不同采样频率下的采样序列进行频谱分析，绘制其幅频曲线，对比各频率下采样序列和的幅频曲线有无差别。 
    4、对信号进行谱分析，观察与3中结果有无差别。 
5、由采样序列恢复出连续时间信号 ，画出其时域波形，对比与原连续时间信号的时域波形。
五、MATLAB实现编程
%实现采样频谱分析绘图函数 
function fz=caiyang(fy,fs)           
%第一个输入变量是原信号函数，信号函数fy以字符串的格式输入 
%第二个输入变量是采样频率 
fs0=10000;  tp=0.1; 
t=[-tp:1/fs0:tp]; 
k1=0:999;  k2=-999:-1; 
m1=length(k1);  m2=length(k2); 
f=[fs0*k2/m2,fs0*k1/m1];                 
%设置原信号的频率数组 
w=[-2*pi*k2/m2,2*pi*k1/m1];
fx1=eval(fy); 
FX1=fx1*exp(-j*[1:length(fx1)]'*w); 
%求原信号的离散时间傅里叶变换 
Figure

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