附录A 傅里叶变换和拉普拉斯变换
傅里叶变换（简称傅氏变换）和拉普拉斯变换（简称拉氏变换），是工程实际中用来求解线性常微分方程的简便工具；同时，也是建立系统在复数域和频率域的数学模型——传递函数和频率特性——的数学基础。
傅氏变换和拉氏变换有其内在的联系。但一般来说，对一个函数进行傅氏变换，要求它满足的条件较高，因此有些函数就不能进行傅氏变换，而拉氏变换就比傅氏变换易于实现，所以拉氏变换的应用更为广泛。
1. 傅里叶级数傅里叶变换公式证明
周期函数的傅里叶级数（简称傅氏级数）是由正弦和余弦项组成的三角级数。
周期为
的任一周期函数
，
若满足下列狄里赫莱条件：
1）在一个周期内只有有限个不连续点；
2）在一个周期内只有有限个极大值和极小值；
3）积分
存在，
则
可展开为如下的傅氏级数：
式中系数
和
由下式给出：
式中
称为角频率。
周期函数
的傅氏级数还可以写为复数形式（或指数形式）：
式中系数
如果周期函数
具有某种对称性质，如为偶函数、奇函数，或只有奇次或偶次谐波，则傅氏级数中的某些项为零，系数公式可以简化。表
列出了具有几种对称性质的周期函数
的傅氏级数简化结果。
1.用复数形式进行周期函数
傅氏级数展开并求导
例
试求图
所示周期方波的傅氏级数展开式。
解首先写出方波在一个周内的数学表达式
表
周期函数
的对称性质
对称性
傅氏级数特点
偶函数
只有余弦项
奇函数
只有正弦项
只有偶次谐波
只有偶数
只有奇次谐波
只有奇数
因为
，为偶函数，故只需计算系数
。由表
有
依次取
计算，得
其中
是应用罗必达法则求得的。由式
可求出方波的傅氏级数展开式为
上述表明，方波可以分解为各种频率的谐波分量。换句话说，用不同频率的谐波合成可以得到方波。
2. 傅里叶积分和傅里叶变换

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