第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.1 学习要点与重要公式
2.2 FT和ZT的逆变换
2.3 分析信号和系统的频率特性 2.4 例题
2.5 习题与上机题解答
2.1 学习要点与重要公式
数字信号处理中有三个重要的数学变换工具， 即傅里叶变换（FT）、 Z变换（ZT）和离散傅里叶变换（DFT）。 利用它们可以将信号和系统在时域空间和频域空间相互转换， 这方便了对信号和系统的分析和处理。
三种变换互有联系， 但又不同。 表征一个信号和系统的频域特性是用傅里叶变换。 Z变换是傅里叶变换的一种推广， 单位圆上的Z变换就是傅里叶变换。
在z域进行分析问题会感到既灵活又方便。 离散傅里叶变换是离散化的傅里叶变换， 因此用计算机分析和处理信号时， 全用离散傅里叶变换进行。 离散傅里叶变换具有快速算法FFT， 使离散傅里叶变换在应用中更加方便与广泛。 但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和Z变换， 它将信号的时域和频域， 都进行了离散化， 这是它的优点。 但更有它自己的特点， 只有掌握了这些特点， 才能合理正确地使用DFT。 本章只学习前两种变换， 离散傅里叶变换及其FFT将在下一章学习。
2.1.1 学习要点
（1） 傅里叶变换的正变换和逆变换定义， 以及存在条件。
（2）傅里叶变换的性质和定理： 傅里叶变换的周期性、 移位与频移性质、 时域卷积定理、 巴塞伐尔定理、 频域卷积定理、 频域微分性质、 实序列和一般序列的傅里叶变换的共轭对称性。
（3）周期序列的离散傅里叶级数及周期序列的傅里叶变换表示式 。
（4）Z变换的正变换和逆变换定义， 以及收敛域与序列特性之间的关系。
（5） Z变换的定理和性质： 移位、 反转、 z域微分、 共轭序列的Z变换、 时域卷积定理、 初
值定理、 终值定理、 巴塞伐尔定理。
（6） 系统的传输函数和系统函数的求解。
（7） 用极点分布判断系统的因果性和稳定性。
（8） 零状态响应、 零输入响应和稳态响应的求解。
（9） 用零极点分布定性分析并画出系统的幅频特性。
2.1.2 重要公式
（1）
这两式分别是傅里叶变换的正变换和逆变换的公式。 注意正变换存在的条件是序列服从绝对可和的条件， 即
（2）
这两式是周期序列的离散傅里叶级数变换对， 可用以表现周期序列的频谱特性。
（3）
该式用以求周期序列的傅里叶变换。 如果周期序列的周期是N， 则其频谱由N条谱线组成， 注意画图时要用带箭头的线段表示。
（4） 若y(n)=x(n)*h(n), 则
这是时域卷积定理。
（5） 若y(n)=x(n)h(n), 则
这是频域卷积定理或者称复卷积定理。
（6）
式中, xe(n)和xo(n)是序列x(n)的共轭对称序列和共轭反对称序列， 常用以求序列的xe(n)和x
o(n)。
（7）
这两式分别是序列Z变换的正变换定义和它的逆Z变换定义。
（8）
前两式均称为巴塞伐尔定理， 第一式是用序列的傅里叶变换表示， 第二式是用序列的Z变换表示。 如果令x(n)=y(n)， 可用第二式推导出第一式。
（9） 若x(n)=a|n|, 则
x(n)=a|n|是数字信号处理中很典型的双边序列， 一些测试题都是用它演变出来的。
2.2 FT和ZT的逆变换
（1） FT的逆变换为
用留数定理求其逆变换， 或将z=ejω代入X(ejω)中， 得到X(z)函数， 再用求逆Z变换的方
法求原序列。 注意收敛域要取能包含单位圆的收敛域， 或者说封闭曲线c可取
单位圆。
例如， 已知序列x(n)的傅里叶变换为
求其反变换x(n)。 将z=ejω代入X(ejω)中， 得到
因极点z=a， 取收敛域为|z|>|a|， 由X(z)很容易得到x(n)=anu(n)。
（2） ZT的逆变换为
求Z变换可以用部分分式法和围线积分法求解。
用围线积分法求逆Z变换有两个关键。 一个关键是知道收敛域以及收敛域和序列特性之间的关系， 可以总结成几句话： ① 收敛域包含∞点， 序列是因果序列； ② 收敛域在某圆以内， 是左序列； ③ 收敛域在某圆以外， 是右序列； ④ 收敛域在整个z面， 是有限长序列； ⑤ 以上②、 ③、 ④均未考虑0与∞两点， 这两点可以结合问题具体考虑。另一个关键是会求极点留数。
2.3 分析信号和系统的频率特性
求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换。 但分析频率特性使用Z变换却更方便。 我们已经知道系统函数的极、 零点分布完全决定了系统的频率特性， 因此可以用分析极、 零点分布的方法分析系统的频率特性， 包括定性地画幅频特性， 估计峰值频率或者谷值频率， 判定滤波器是高通、 低通等滤波特性， 以及设计简单的滤波器（内容在教材第5章）等。
根据零、 极点分布可定性画幅频特性。 当频率由0到2π变化时， 观察零点矢量长度和极点矢量长度的变化， 在极点附近会形成峰。 极点愈靠进单位圆， 峰值愈高； 零点附近形成谷， 零点愈靠进单位圆， 谷值愈低， 零点在单位圆上则形成幅频特性的零点。 当然， 峰值频率就在最靠近单位圆的极点附近， 谷值频率就在最靠近单位圆的零点附近。
滤波器是高通还是低通等滤波特性， 也可以通过分析极、 零点分布确定， 不必等画出幅度特性再确定。 一般在最靠近单位圆的极点附近是滤波器的通带； 阻带在最靠近单位圆的零点附近， 如果没有零点， 则离极点最远的地方是阻带。 参见下节例2.4.1。
2.4 例 题
［例2.4.1］ 已知IIR数字滤波器的系统函数
试判断滤波器的类型（低通、 高通、 带通、 带阻）。 （某校硕士研究生入学考试题中的一个简单的填空题）
解： 将系统函数写成下式:
系统的零点为z=0， 极点为z=0.9， 零点在z平面的原点， 不影响频率特性， 而惟一的极点在实轴的0.9处， 因此滤波器的通带中心在ω=0处。 毫无疑问， 这是一个低通滤波器。
［例2.4.2］假设x(n)=xr(n)+jxi(n)， xr(n)和xj(n)为实序列， X(z)=ZT［x(n)］在单位圆的下半部分为零。 已知
求X（ejω）=FT［x(n)］
解： Xe(ejω)=FT［xr(n)］
因为 X(ejω)=0π≤ω≤2π
所以
X(e-jω)=X(ej(2π-ω))=0 0≤ω≤π
当0≤ω≤π时， ， 故
当π≤ω≤2π时， X(ejω)=0， 故
0≤ω≤π
π≤ω≤2π
因此
Re［X(ejω)］=X(ejω)
Im［X(ejω)］=0
［例2.4.3］ 已知
0≤n≤N
N+1≤n≤2N
n<0, 2N<n
求x(n)的Z变换。
解： 题中x(n)是一个三角序列， 可以看做两个相同的矩形序列的卷积。
设y(n)=RN(n)*RN(n), 则
n<0
0≤n≤N－1
N≤n≤2N－1
2N≤n
将y(n)和x(n)进行比较， 得到y(n－1)=x(n)。 因此
Y（z）z－1=X(z)
Y(z)=ZT［RN(n)］·ZT［RN(n)］
故
［例2.4.4］ 时域离散线性非移变系统的系统函数H(z)为
（1） 要求系统稳定， 确定a和b的取值域。
（2） 要求系统因果稳定， 重复（1）。
解： （1） H(z)的极点为a、 b， 系统稳定的条件是收敛域包含单位圆， 即单位圆上不能有极点。 因此， 只要满足|a|≠1, |b|≠1即可使系统稳定， 或者说a和b的取值域为除单位圆以的整个z平面。
（2） 系统因果稳定的条件是所有极点全在单位圆内， 所以a和b的取值域为
0≤|a|<1, 0≤|b|<1
［例2.4.5］ , f1=10 Hz， f2=25 Hz， 用理想采样频率Fs=40 Hz对其进行采样得到 。 （1） 写出 的表达式;傅里叶变换公式证明
（2） 对 进行频谱分析， 写出其傅里叶变换表达式， 并画出其幅度谱；
（3）如要用理想低通滤波器将cos(2πf1t)滤出来， 理想滤波器的截止频率应该取多少？
解：
（2） 按照采样定理, 的频谱是x(t)频谱的周期延拓， 延拓周期为Fs=40 Hz，x(t)的频谱为
画出幅度谱如图2.4.1所示。
图2.4.1
（3） 观察图2.4.1， 要把cos(2πf1t)滤出来， 理想低
通滤波器的截止频率fc应选在10 Hz和20 Hz之间，可选fc＝
15 Hz。
如果直接对模拟信号x(t)=cos(2πf1t)+cos(2πf2t)进行滤波， 模拟理想低通滤波器的截止频率选在10 Hz和25 Hz之间， 可以把10 Hz的信号滤出来， 但采样信号由于把模拟频谱
按照采样频率周期性地延拓， 使频谱发生变化，因此对理想低通滤波器的截止频率要求不同。
［例2.4.6］ 对x(t)=cos(2πt)+cos(5πt)进行理想采样， 采样间隔T=0.25 s， 得到 ， 再让 通过理想低通滤波器G(jΩ)， G(jΩ)用下式表示:
≤
(1) 写出 的表达式;
(2) 求出理想低通滤波器的输出信号y(t)。
解：(1)
（2） 为了求理想低通滤波器的输出， 要分析 的频谱。 中的两个余弦信号频谱分别为在±0.5π和±1.25π的位置， 并且以2π为周期进行周期性延拓， 画出采样信号 的频谱示意图如图2.4.2（a）所示， 图2.4.2（b）是理想低通滤波器的幅频特性。 显然， 理想低通滤波器的输出信号有两个， 一个的数字频率为0.5π， 另一个的数字频率为0.75π， 相应的模拟频率为2π和3π， 这样理想
低通滤波器的输出为
y(t)=0.25［cos(2πt)+cos(3πt)］
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