信号与系统中的数学
摘要：信号与系统是通信工程的一门基础课程，主要研究确定信号与系统的线性非时
变系统。在这门课程中数学的应用几乎占据了整个课程的体系。傅里叶变换、Laplace 变换、Z变换是分析与研究确定信号的基础；卷积运算时研究系统必不可少的工具。当然在信号与系统中也少不了微积分与复变函数的身影。
关键词：信号与系统数学频域分析
要谈信号与系统中的数学，首先来了解一下信号与系统这门课程的产生背景吧。信号与系统这门课程的发展经历了一个漫长的过程，很久以来，人们寻求各种方法以实现信号的传输。在我国的古代就有利用烽火传送边疆警报，这是最原始的光通信系统。除此之外还出现了击鼓鸣金、信鸽、旗语、驿站等传送消息的方法。但是这些方法无论在距离、速度或可靠性与有效性方面都存在一定的缺陷。这种缺点从19世纪开始慢慢发生了变化。在这个时候人们开始研究如何利用电信号传送信息。1844年5月24日，莫尔斯（Morse）在国会大厦联邦最高法院会议厅进行了“用莫尔斯电码”发出了人类历史上的第一份电报，从而实现了长途电报通信。1876年贝尔（A.G. Bell）发明了电话，直接将语音转变为电信号进行传输。19世纪末，人们又致力于研究用电磁波传送无线电信号，在这个过程中赫兹、波波夫、马可尼等人分别作出了杰出的贡献。而如今，无线电信号的传输不仅能够飞跃高山海洋，而且可以遍及全球并通向宇宙，现代通信
技术的发展已完全超出许多人的想象。信号与系统这门课程正是在通信技术与信息传输方式不断的发展过程中形成的，它通过数学理论的分析来研究信号的传输、信号的交换以及信号的处理，正是基于这样的研究基础之上才有了今天的信息传递技术的迅猛发展。下图是信号与系统理论应用的一些实例。
数学是以数和形表现事物联系的科学，而且它与哲学、自然科学、社会科学等有着紧密的联系。曾看到过伽利略的一句名言：“数学是上帝描写宇宙的文字。”也曾听人说过“数学的学习程度决定着一个人学术人生的高度。”通过大学这两年的学习我对这两句话深信不疑，特别是后一句话，如果将其放在信号与系统这门课程上，就是一个很好的体现，因为如果你的数学很差的话，你就很难学号信号与系统这门课程。
信号与系统分析主要包括信号的分析与系统的分析两部分内容。信号分析的核心内容就是将信号分解，通过基本的信号特性和信号的线性组合关系来研究复杂信号的特性。这其中用到的数学理论主要包括三大变换（Fourier变换、Laplace变换、Z变换），通过这三大变换，可以将信号时域的分析转化到频域的分析。根据时域与频域的对应关系，可以通过频域数学表达式看出信号的特点进行分析。系统分析的主要任务就是在已知系统结构和输入激励的前提下，求解系统的输出响应。这其中运用到的主要数学知识有卷积的运算、微分方程与差分方程的求解、以及利用微分方程或差分方程表示系统的结构。
一、三大变换在信号与系统中的应用
（一）傅里叶变换
在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的变换，傅里叶变换通过对函数的分析来达到对复杂函数的深入理解和研究，傅里叶变换是积分变换中常见的一种变换，它是一种对连续时间函数的积分变换，即
通过某种积分变换，把一个函数化成另一个函数，同时还具有对称形式的逆变换。它是在19世纪初由法国数学家和物理学家傅里叶（Fourier）提出的，满足一定条件的时域信号可以表达为一系列正弦（或虚指数）信号的加权叠加。对与周期信号有
傅里叶变换公式表信号与系统其中：
(n=1,2……)
(n=1,2……) 傅里叶变换在不同的领域有不同的形式，这一数学工具也有着广泛的应用，诸如现代声学，语音通讯，声纳，地震，核科学，乃至生物医学工程等信号的研究学科上。它既能简化计算，如求解微分方程，化卷积为乘积等等，又具有非常特殊的物理意义。正是由于傅里叶变换所具有的这些性质使得它能够称为信号与系统的这门课程的一个理
论基础。虽然现在人们对利用傅里叶变换分析信号与系统已再熟悉不过了，但是这一数学工具在信息学科上的应用还经历了一段过程，因为刚开始的时候要到简便而实用的方法产生、传输、分离和变换各种频率的正弦信号还有一定的困难，直到后来出现了电容器、谐振电路、滤波器、正弦振荡器等元器件和功能电路才为傅里叶变换在信号分析的道路上前进了一大步。并且人们逐渐认识到在信号的研究上，采用频域的分析方法较之经典的时域方法有许多突出的优点。正因为此，傅里叶变换已经成为信号的分析和系统的设计不可缺少的重要工具。傅里叶变换开创了信号频谱分析法的先河。实践表明，频谱分析法透过信号的幅值和均值等表象，深入地抓住信号变化的本质。对频率进行分析和处理，在实际应用中往往比时域分析更为有效。在信号与系统中根据信号的形式不同有以下四对傅里叶变换公式。
连续周期信号
连续非周期信号
离散周期信号
离散非周期信号
基于信号的傅里叶变换，我们得到的关于通信系统的实际应用包括滤波、信号的调制、抽样以及信号传输过程中的频分复用等。下面以抽样为例说明，利用抽样定理我们能够尽可能地将原信号的信息包含。这是在傅里叶变换的基础上利用频域分析的一个实例。通过抽样我们可以得到时域抽样序列x[k]，其存
在以下关系
T 为抽样间隔
通过公式我们可以看到时域的离散化对应于频域的周期化，只要保证频域的频谱不发生混叠就能够恢复原来的信号，这就为信号的数字化处理奠定了基础。
（二）Laplace 变换和Z 变换
这两种变换的思想与傅里叶变换的思想都是一样的，它们是对傅里叶变换的一个扩充，引入这两种变换主要是因为傅里叶变换分析法存在一些不足。其中一点就是一些信号的傅里叶变换不存在，无法对其进行频域分析。因此在信号与系统中引入这两种变换对信号与系统进行复频域和Z 域的分析。利用S 域和Z 域我们能够得到许多系统的系统函数，这两种域所表示的系统函数更接近实际系统。通过拉氏变换和Z 变换能够很好的对信号与系统进行分析。下面举一个利用Laplace 变换求解系统数的例子：
例：已知一个LTI 连续时间系统满足的微分方程为
y ''(t )+3y '(t )+2y (t )=3x (t )+2x '(t )
t  ≥ 0 试求该系统的系统函数H(s)和单位冲激响应h(t)。
解：对微分方程两边进行Laplace 变换得                      根据系统函数的定义可得
2332)()()(2zs +++==s s s s X s Y s H 2111+++=s s )
()32()()23(zs 2s X s s Y s s +=++
进行Laplace 反变换，可得
通过此例我们可以看出拉氏变换具有简化微分计算，便于表示系统函数的特点。Laplace 变换在信号与系统中特到了广泛的应用，对于信号的分析和系统的分析拥有重要的意义。
二、卷积运算
卷积方法最早的研究可以追溯到19世纪初期的数学家欧拉（Euler ）和泊松（Poisson ）等人，以后许多科学家对此问题做了大量的研究工作，其中，杜阿美尔（Duhamel ）的研究有着重要的意义。近代，随着信号与系统的理论研究的深入及计算机的发展，不仅卷积得到了广泛的应用，反卷积的问题也越来
越受重视。在现代的地震勘探、超声诊断、光学成像、系统辨识及其他诸多信号处理领域中卷积和反卷积无处不在，而且许多都是有待深入开发研究的课题。虽然在信号与系统中，用卷积积分只能得到系统的零状态响应，如在已知系统的输入激励和系统的单位脉冲响应的情况下，可以利用卷积对系统的输出响应求解。但它的物理意义概念明确，运算过程方便，称为系统分析的基本方法，是近代计算分析系统的强有力工具。卷积积分也是时间域与变换域分析线性系统的一条纽带，通过它我们能够更加清楚的了解变换域分析的物理概念。卷积运算的表达式为：
下面举例说明利用卷积运算求解系统的零状态响应
例：若描述某离散系统的差分方程为
已知              ，
求系统的零状态响应
。 解：        ][][][zs n k h n x k y n -=∑
∞-∞
=            )
()e e ()(2t u t h t t --+=][]2[2]1[3][k x k y k y k y =-+-+][)21(3][k u k x k =

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