第四章 傅里叶级数在信号与系统分析中的应用
习题参考答案
4．1 按如下时域关系，用傅里叶变换证明采样定理：
          。
证明1：按题意对所给的时域关系式两端同时作傅里叶变换，并应用时域乘积和时域卷积定理有：
式中：     
                 
                 
这里为的周期故为采样频率。
             
故有       
                 
注意到是以为周期对的重复，而是频域内宽度为的门函数。故欲使上面的等式成立，必须带限于之内，即采样周期（即中的周期，对应的重复角频率，故等于采样频率）与信号的带宽应满足如下约束关系：
（1）必须是带限的：
         
（2）采样频率，即是的重复间隔与具有如下关系：
         
这就是采样定理。证毕。
证明2：如果在频域内将宽度为的矩形函数与取样信号的频谱相乘，可以从频谱中无失真的选出原信号的频谱，恢复了也就恢复了。
根据如上描述，我们可以写出：
                           
式中：         
根据时域卷积定理：
又
，为简便，选，则得：
，代入中，即得到所给时域关系式，从而证明了采样定理：
        或 
证毕。
4.2对下列信号求奈奎斯特间隔和速率：
    （1）                    （2）
    傅里叶变换公式表信号与系统（3）          （4）
解：先求出所给信号的带宽或最高频域，然后直接使用采样定理确定采样间隔和采样频率或
（1）；            （2）；
（3）；            （4）；
4.3 假定对一个带限信号以大于奈奎斯特速率进行采样，采样周期为，然后将样本转换成序列，如习题图4.3所示。试确定序列的能量、原始信号的能量和采样间隔之间的关系。
           
                        习题4.3图
解：根据帕塞瓦尔定理，可以写出
   
       
       
                   

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