0()()()()()()
2,)()()(cos sin )(1)
k k f x x f x g x l f x g x T l g x k x k x
g x a a b l l ππ∞<<∞→∞→=→∞∞∞++一实数形式的傅里叶变换
设为定义在-上的函数，一般说来，它是定义在无穷区间上的，非周期的，不能展开为傅里叶级数，为研究这样的函数的傅里叶展开问题，采取如下办法：将非周期函数看作是某个周期函数于周期2时的极限情形。周期
非周期(-则的傅里叶级数展开式：
＝1
()k l f x ∞
=→∞∑在时的极限形式就是所要寻的非周期函数的傅里叶展开。
5.2 傅里叶积分与傅里叶变换
本节研究非周期函数的傅里叶展开、傅里叶变换及有关性质。
11k
k k k k k l l l ωππωωωωπ+∆∆=-引入不连续参量=(k=0,1,2,...),=，则=
下面仔细研究这一过程。
01
()(cos sin )(2)k k k k k g x a a x b x ωω∞
=++∑成为＝01()(cos )
k k k k x k x
g x a a l l ππ∞==+∑则(1)式：1()cos l k l k
k a f d l l πξξξδ-=⎰其中：1()sin l k l k b f d l l πξξξ-=⎰1()cos();l k k l k a f d l ξωξξδ-=⎰其中：1()sin()(3)l k k l b f d l ξωξξ-=⎰001:lim ()lim lim ()0
2l l
l l
l l l l a if f d a f d l ξξξξ--→∞→∞→∞→∞=⎰⎰将(3)式代入(2)式，并取的极限，结果如何？
对于有限，则＝余弦部分：11lim [()cos()]cos()l k k l l k f d x l ξωξξω∞
-→∞=∑⎰1lim cos()k k l k a x ω∞→∞=∑1k l ωπ∆将=代入0k k k l l k π
ωωω
ω→∞∆→∴ ，，不连续变量(=)变成连续变量，记为对的求和变成对的积分。1
1lim [()cos()]cos()l
k k k
l
l k f d x ξωξξωωπ
∞
-→∞
=⋅∆∑⎰＝0
1[()cos()]cos()f d x d ξωξξωω
π
∞∞
-∞
∴⋅⎰⎰
刚才的这一过程。
01
()(cos sin )()
l k k k k x k x g x a a b f x l l ππ∞
→∞
==++−−−→∑周期函数非周期函数0lim 0
l a →∞
=0
1
[
()cos()]cos()cos()k f d x d A x d ωξωξξωωωω
π∞
∞
∞
-∞
→⋅⋅⎰⎰
⎰余弦部分=1
余弦函数的傅里叶变换公式()cos()A f d ωξωξξ
π∞
-∞
=
⎰
其中10
1lim [()sin()]sin()
1[()sin()]sin()sin()l
k k l l k f d x l
f d x d B x d ωξωξξωξωξξωωωω
π
∞
-→∞
=∞∞∞
-∞=⋅⋅∑⎰⎰⎰⎰同理正弦部分=1
()sin()B f d ωξωξξ
π∞
-∞
=
⎰
其中0
()()cos()()sin((4)()()()())f x A x d f x A B f x B x d ωωωωωωωω∞
∞
=+⇒⎰⎰称为非周期函数的表达式。和的表达式称傅里叶积分傅为的里叶变换式。
关于这一结果的数学理论为：
()(,)(1)()a.b.(2)()(,)|()|()(0)(0)f x f x f x f x dx f x f x f x ∞
-∞-∞∞-∞∞++-⎰傅里叶积分定理：若函数在区间上满足条件在任一有限区间上满足狄里希利条件：
处处连续或在任一有限区间中只有有限个第一类间断点在任一有限区间中只有有限个极值点。在上绝对可积(即收敛)
则可表成傅里叶积分，且傅里叶积分值=[]/2
()()cos()()sin()f x A x d B x d ωωωωωω
∞∞
=+⎰⎰B(ω)
φ
1220
()
()()()cos ,sin ,()()
()()()()()()cos()()sin()()[cos cos()sin sin()]()cos[()]()(),()()A A B B tg
C C A A B f x A x d B x d C x x d C x d C f x f x ωωωωϕϕϕωωωωωωωωωωωω
ωϕωϕωωωωϕωω
ωϕω-∞
∞
∞
∞
=
===+=+=+=-→→⎰⎰⎰⎰则：的振幅谱的相位谱
1
()cos()A f d ωξωξξ
π∞
-∞
=
⎰
其中1
()sin()B f d ωξωξξ
π∞
-∞
=
⎰
；0
()()cos()()sin()f x A x d B x d ωωωωωω
∞∞
=+⎰⎰00
00
()()()sin()2
()()sin()()()(0)0
()()cos()2
()()cos()()()f x A f x B x d B f d B f x f f x B f x A x d A f d A f x ωωωωωξωξξωπωωωωωξωξξωπ∞
∞
∞
∞
=→=
→→=
→⎰⎰
⎰⎰
讨论：(1)奇函数的傅里叶积分：()=0称是的傅里叶正弦变换
可见＝（2）偶函数的傅里傅里叶正弦积分
傅里叶余弦积叶积分:()=0()=称是的傅里分
叶余弦变换
可'(0)0
f 见＝
00002()()sin()2()()sin()2()()cos()2()()cos()f x B x d B f d f x A x d A f d ωωωπωξωξξπωωωπωξωξξπ∞
∞∞
∞⎫⎧=⎪⎪⎪⎪
⎨⎬⎪⎪
=⎪⎪⎩⎭
⎫⎧=⎪⎪⎪⎪
⎨⎬⎪⎪
=⎪⎪⎩⎭⎰⎰⎰⎰傅里叶正弦变换对傅里叶余弦变换对可把以上两组式子写成更加对称的形式：
11||2,1
20||2
x t rectx f rect T x ⎧
<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩例：矩形函数将矩形脉冲(t)=h ()
展为傅里叶积分。

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