离散傅里叶变换公式推导
    离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT)是将连续时间信号转换为离散频率信号的数学方法。DFT的推导基于傅里叶变换公式(Fourier Transform),但需要引入离散时间信号的概念。
    假设有一个连续时间信号 $S(t)$ 和一个离散时间信号 $F(k)$,其中 $t$ 是离散时间,$k$ 是离散频率,那么它们可以组成一个离散傅里叶变换矩阵 $F$ 和DFT矩阵 $D$:
    $$
    S(t)=sum_{k=0}^{N-1} f_k e^{-i 2 pi k t} cdot F(k)
    $$
    $$
    D_t = sum_{k=0}^{N-1} f_k e^{-i 2 pi k t} cdot delta(t)
    $$
    其中 $f_k$ 是离散频率,$delta(t)$ 表示离散离散除法,即对于一个离散时间 $t$,$f_k$ 等于 $t$ 除以 $2 pi$ 的余数。
傅里叶变换公式原理
    离散傅里叶变换矩阵 $F$ 由离散频率和单位脉冲矩阵组成。单位脉冲矩阵是一个由 $1$ 元素的单位矩阵 $P$ 和 $0$ 到 $N-1$ 元素的全矩阵 $P^N$ 组成的矩阵。离散频率矩阵 $f_k$ 是一个由 $k$ 元素的离散傅里叶系数 $c_k$ 组成的矩阵,即:
    $$
    f_k = frac{1}{N} sum_{n=0}^{N-1} c_n cdot e^{i 2 pi k n t}
    $$
    其中 $c_n$ 是离散傅里叶系数,它们满足:
    $$
    f_k = frac{1}{N} sum_{n=0}^{N-1} c_n cdot e^{i 2 pi k n t}
    $$
    离散傅里叶变换公式可以表示为:
    $$
    S(t) = sum_{k=0}^{N-1} c_k cdot F(k)
    $$
    $$
    D_t = sum_{k=0}^{N-1} c_k cdot delta(t)
    $$
    其中 $c_k$ 就是上面离散傅里叶系数的定义。
    需要注意的是,由于离散傅里叶变换是基于傅里叶变换公式推导出来的,因此需要对傅里叶变换公式进行推导。傅里叶变换公式可以表示为:
    $$
    S(t) = frac{1}{2} sum_{k=0}^{N-1} (-1)^k e^{-i 2 pi k t} cdot F_0(k)
    $$
    其中 $F_0(k)$ 是基函数,即:
    $$
    F_0(k) = frac{1}{2} sum_{n=0}^{N-1} e^{i 2 pi k n t} cdot delta(n)
    $$
    离散傅里叶变换可以将基函数 $F_0(k)$ 转换为离散频率信号 $f_k$:
    $$
    D_t = sum_{k=0}^{N-1} f_k e^{-i 2 pi k t} cdot delta(t)
    $$
    因此,离散傅里叶变换矩阵 $F$ 和DFT矩阵 $D$ 之间的关系可以表示为:
    $$
    S(t) = frac{1}{2} sum_{k=0}^{N-1} (-1)^k e^{-i 2 pi k t} cdot F_0(k) cdot F_0(k-1)
    $$
    $$
    D_t = sum_{k=0}^{N-1} f_k e^{-i 2 pi k t} cdot delta(t) cdot F_0(k-1) cdot delta(t-1)
    $$
    其中第一个式子表示基函数的离散傅里叶变换,第二个式子表示单位脉冲矩阵的离散傅里叶变换,第三个式子表示两个单位脉冲矩阵的乘积的离散傅里叶变换。

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