实验2 离散傅里叶变换(DFT)
一、实验目的
(1)加深对离散傅里叶变换(DFT)基本概念的理解。
(2)了解有限长序列傅里叶变换(DFT)与周期序列傅里叶级数(DFS)、离散时间傅里叶变换(DTFT)的联系。
(3)掌握用MATLAB语言进行离散傅里叶变换和逆变换的方法。
傅里叶变换公式原理
二、实验内容
1.有限长序列的傅里叶变换(DFT)和逆变换(IDFT)
2.有限长序列DFT与周期序列DFS的联系
3.有限长序列DFT与离散时间傅里叶变换DTFT的联系
三、实验环境
      MATLAB7.0 
四、实验原理
1.有限长序列的傅里叶变换(DFT)和逆变换(IDFT)
在实际中常常使用有限长序列。如果有限长序列信号为x(n)，则该序列的离散傅里叶变换对可以表示为
            (2-1)
        (2-2)
从离散傅里叶变换定义式可以看出，有限长序列在时域上是离散的，在频域上也是离散的。式中，即仅在单位圆上N个等间距的点上取值，这为使用计算机进行处理带来了方便。
由有限长序列的傅里叶变换和逆变换定义可知，DFT和DFS的公式非常相似，因此在程序编写上也基本一致。
例2-1 已知x(n)＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，求x(n)的DFT和IDFT。要求：
(1)画出序列傅里叶变换对应的|X(k)|和arg［X(k)］图形。
(2)画出原信号与傅里叶逆变换IDFT［X(k)］图形进行比较。
解 MATLAB程序如下： 
>> title('|X(k)|');
运行结果如图2-1所示。
图2-1 例2-1有限长序列的傅里叶变换和逆变换结果
从得到的结果可见，与周期序列不同的是，有限长序列本身是仅有N点的离散序列，相当于周期序列的主值部分。因此，其频谱也对应序列的主值部分，是含N点的离散序列。
2.有限长序列DFT与周期序列DFS的联系
将周期序列的傅里叶级数变换与有限长序列离散傅里叶变换对(式(2-1)和式(2-2))进行比较，可以看出两者的区别仅仅是将周期序列换成了有限长序列。
例2-2 已知周期序列的主值x(n)＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，求x(n)周期重复次数为4次时的DFS。要求：
  (1)画出原主值和信号周期序列信号。
  (2)画出序列傅里叶变换对应的和的图形。
解 MATLAB程序如下：
运行结果如图2-2所示。
图2-2 例2-2周期序列的傅里叶级数(DFS)结果
由这个周期序列的实验我们可以看出，与例2-1相比，有限长序列x(n)可以看成是周期序列的一个周期；反之，周期序列可以看成是有限长序列x(n)以N为周期的周期延拓。频域上的情况也是相同的。从这个意义上说，周期序列只有有限个序列值有意义。
3.有限长序列DFT与离散时间傅里叶变换DTFT的联系
离散时间傅里叶变换(DTFT)是指信号在时域上为离散的，而在频域上则是连续的。
如果离散时间非周期信号为x(n)，则它的离散傅里叶变换对(DTFT)表示为
其中X(ejw)称为信号序列的频谱。将频谱表示为.|X(ejw)|称为序列的幅度谱, 称为序列的相位谱。
从离散时间傅里叶变换的定义可以看出，信号在时域上是离散的、非周期的，而在频域上则是连续的、周期性的。
与有限长序列相比，X(ejw)仅在单位圆上取值，X(k)是在单位圆上N个等间距的点上取值。因
此，连续谱X(ejw)可以由离散谱X(k)经插值后得到。
为了进一步理解有限长序列的傅里叶变换(DFT)与离散时间傅里叶变换(DTFT)的联系，我们举例说明离散时间傅里叶变换的使用方法和结果。
例2-3 求x(n)＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，0≤n≤7的DTFT，将(－2p，2p)区间分成500份。要求：
(1)画出原信号。
(2)画出由离散时间傅里叶变换求得的幅度谱X(ejw)和相位谱arg［X(ejw)］图形。
解 MATLAB程序如下：
运行结果如图2-3所示。
图2-3 例2-3离散时间傅里叶变换(DTFT)的结果
由图2-3与DFT的结果图2-1相比可以看出，两者有一定的差别。主要原因在于，该例进行DTFT时，X(ejw)在单位圆上取250个点进行分割；而图2-1进行DFT时，X(k)是在单位圆上N＝8的等间距点上取值，X(k)的序列长度与X(ejw)相比不够长。
例2-4 仍然用x(n)＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，将x(n)的有限长序列后面补足至N＝100，求其DFT，并与例2-3进行比较。
解  将例2-1程序的前2行改为
  N＝100；
  xn＝［0，1，2，3，4，5，6，7，zeros(1，N－8)］；
则|X(k)|和arg［X(k)］的图形接近由离散时间傅里叶变换求得的幅度谱X(ejw)和相位谱arg［X(ejw)］的图形，如图2-4所示。注意，此图对应［0，2p］区间。
MATLAB程序如下：
运行结果如图2-4所示。
图2-4 增长有限长序列的长度得到|X(k)|和arg［X(k)］
五、实验内容
1. 已知有限长序列x(n)＝［7，6，5，4，3，2］，求x(n)的DFT和IDFT。要求：
①画出序列傅里叶变换对应的|X(k)|和arg［X(k)］的图形。
  ②画出原信号与傅里叶逆变换IDFT［X(k)］的图形进行比较。
解：
运行结果：
2. 已知周期序列的主值x(n)＝［7，6，5，4，3，2］，求x(n)周期重复次数为3次时的DFS和IDFS。要求：
①画出原信号序列的主值和周期序列的图形。
②画出序列傅里叶变换对应的和的图形。
解：
3. 求x(n)＝［7，6，5，4，3，2］，0≤n≤5的DTFT，将(－2p，2p)区间分成500份。要求：
①求出原信号。
②画出由离散时间傅里叶变换求得的幅度谱X(ejw)和相位谱arg［X(ejw)］的图形。
③求有限长序列x(n)＝［7，6，5，4，3，2］，N＝100时的DFT，并与DTFT的结果进行比较。
解 ：
运行结果：
4. 讨论序列补零及增加数据长度对信号频谱的影响
(1) 求出序列x(n)=cos(0.48 n)+cos(0.52 n)基于有限个样点n=10的频谱
(2) 求n=100时，取x(n)的前10个，后90个设为零，得到x(n)的频谱
(3) 增加x(n)有效的样点数，取100个样点得到x(n)的频谱

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