第三章傅里叶分析（修订）
第3章 傅里叶分析
傅里叶分析是利用傅里叶变换来分析信号的一种通用工具，其实质是将信号分解成若干个不同频率的正弦波之和。它在信号处理的理论和应用中具有重要意义。
3.1 傅里叶变换概述
我们知道，傅里叶变换定义了以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量的“频谱函数”之间的某种变换关系，也就是说，傅里叶变换建立了时域和频域之间的联系。所以当自变量“时间”或“频率”取连续值或离散值时，就形成了各种不同形式的傅里叶变换对。 一、 时间连续、频率连续的傅里叶变换（FT ）
其傅里叶变换公式为： 正变换 ?
∞
∞
-Ω-=Ωdt e t x j X t j )()(
反变换 ?
∞
∞
-ΩΩΩ=
d e j X t x t j )(21)(π
连续时间非周期信号x (t )的傅里叶变换结果是连续的非周期的频谱密度函数X (j Ω)，如图所示。
可见，时域函数的连续性造成频域函数的非周期性，而时域的非周期性造成频谱的连续性。
二、 时间连续、频率离散的傅里叶变换——傅里叶级数（FS ）
周期为T 的周期性连续时间函数x (t )可展开成傅里叶级数，其系数为X (jk Ω0)，X (jk Ω0)是离散频率的非周期函数。x (t )和X (jk Ω0)组成变换对，其变换公式为： 正变换 ?-Ω-=
Ω2/2/00)(1)(T T t
jk dt e t x T
jk X 反变换 ∑∞
-∞
=ΩΩ
=
k t jk e jk X t x 0)()(0
式中，k ——谐波序号；
Ω0=2π/T ——两条相邻的离散谱线之间角频率的间隔；
x (t )和X (jk Ω0)之间的变换关系如图所示。
可见，时域函数的连续性造成频域函数的非周期性，而时域函数的周期性造成频域函数的离散化。
三、 时间离散、频率连续的傅里叶变换——序列的傅里叶变换（DTFT ） 1. DTFT 的定义
序列的傅里叶变换公式为：
正变换 ∑∞
-∞
=-=
n n
j j e
n x e
X ωω
)()(傅里叶变换公式原理
反变换 ?-
=
π
π
ωωωπ
d e e X n x n j j )(21)(
注意：序列．．x(n)．．．．只有当．．．n ．为整数时才有意义，否则没有定义。．．．．．．．．．．．．．．．．
由于存在关系
ωωj e z j z X e X n x DTFT ===)()()]([
因此，序列的傅里叶变换也就是单位圆上的Z 变换。x (n )和X (e j ω
)之间的变换关系如图所示。
可见，时域的离散化造成频谱函数的周期性延拓，而时域的非周期性造成频域的连续性。 2. DTFT 的性质 （1） 线性定理
)()()]()([2121ωωj j e bX e aX n bx n ax DTFT +=+
（2） 时移定理
)()]([00ωωj n j e X e n n x DTFT -=-
（3） 频移定理
)(])([)(00ωωω-=j n j e X e n x DTFT
（4） 对称性定理
对于复数序列x (n )，则当它满足：
○1 x (n )=x*(-n )时，该序列称为共轭对称序列．．．．．．x ．e ．(．n ．
)； 对于实序列而言，此条件变为x (n )=x (-n )，即x e (n )又称为偶对称序列。
○2 x (n )=-x*(-n )时，该序列称为共轭反对称序列．．．．．．．x ．o ．(．n ．
)； 对于实序列而言，此条件变为x (n )=-x (-n )，即x o (n )又称为奇对称序列。
任意一个序列总能表示成一个共轭对称序列与一个共轭反对称序列之和，即
x (n )= x e (n )+ x o (n )
证：欲证明这一点，只需到x e (n )和x o (n )即可，则令
)]
()([2
1
)()]
()([2
1
)(n x n x n x n x n x n x o e --=-+=**
不难看出，这里的x e (n )与x o (n )分别满足共轭对称与共轭反对称的条件，且二者之和为x (n )，由此得证。

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